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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Hauber's Theorem.
tionen etc., wie sie oben im Kontext bei dem vorausgeschickten Hülfs-
theorem ausführlichst angegeben wurden.

Von Venn 1 ist ein scheinbar viel einfacherer Beweis des Satzes ge-
geben. Derselbe kommt aber nur durch einen Beweisfehler zustande,
nämlich dadurch, dass (l. c.) p. 275 auf Zeile 16 und 15 v. o. ein wie
mir scheint gänzlich ungerechtfertigter und verfehlter (nämlich Z. 16 auf
einen circulus in demonstrando, eine petitio principii hinauslaufender, Z. 15
aber völlig sinnloser) Ansatz gemacht wird. (Jener kommt dadurch zu-
stande, dass Herr Venn mit dem Minuszeichen -- was nicht erlaubt --
nach den Regeln der Arithmetik operirt, nämlich erst a = b in a -- b = 0,
sodann aber (a + b) -- (c + d) in (a -- c) + (b -- d) umschreibt. Behufs
Richtigstellung wäre von unserm § 23 nähere Kenntniss zu nehmen. Der
Fall, bei einem sonst so sorgfältigen Schriftsteller, gibt aber eine Warnung
ab: in der Logik den Gebrauch des Minuszeichens lieber zu vermeiden.) --

Behufs Vereinfachung konnte man, nachdem das Hülfstheorem a) be-
reits bewiesen ist, den Faktor (x y = 0) rechts in i) auch weglassen, weil
diese Folgerung bereits gezogen erscheint.

Linke Seite unsres Theorems th) ist ein Produkt von vielen Fak-
toren. Nach dem Schema unter thx) des § 45:
(A B C) = {A (B C)}
können auch einzelne Malzeichen zur Linken in Subsumtionszeichen
verwandelt werden, wenn man jeweils alles auf sie folgende in eine
Klammer einschliesst.

Zur Rechten, im Major dagegen können nach Th. 6nx), weil
A B A, auch beliebige Faktoren unterdrückt werden, ohne dass
das Theorem aufhört ein richtiges zu sein, während dann allerdings
dasselbe ein eventuell weniger sagendes wird.

Endlich kann man im Major beliebige Faktoren aus dem Minor
wiederholen kraft Th. 20), weil auch (A B) (A A B), sowie
nach Th. 15x) (A B C) (A B B C) sein wird.

Von der zweiten Erlaubniss Gebrauch machend unterdrücken wir
in th) zunächst das letzte Faktorensystem (x y = 0) .. und geben dem
Satze kraft der ersten Erlaubniss die Form:
k) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) ... (a + b + c .. = x + y + z ..)
{(x a) (y b) (z c) .. (a x) (b y) (c z) ...}
und im Major des Majors wiederholen wir (nach der dritten) den Minor
des letztern, wobei nach Def. (1) das Produkt je zweier entgegen-
gesetzten Subsumtionen sich in eine Gleichung zusammenziehen wird.
So entsteht:
l) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) ... (a + b + c .. = x + y + z ..)
{(x a) (y b) (z c) .. (x = a) (y = b) (z = c) ..}

§ 46. Hauber’s Theorem.
tionen etc., wie sie oben im Kontext bei dem vorausgeschickten Hülfs-
theorem ausführlichst angegeben wurden.

Von Venn 1 ist ein scheinbar viel einfacherer Beweis des Satzes ge-
geben. Derselbe kommt aber nur durch einen Beweisfehler zustande,
nämlich dadurch, dass (l. c.) p. 275 auf Zeile 16 und 15 v. o. ein wie
mir scheint gänzlich ungerechtfertigter und verfehlter (nämlich Z. 16 auf
einen circulus in demonstrando, eine petitio principii hinauslaufender, Z. 15
aber völlig sinnloser) Ansatz gemacht wird. (Jener kommt dadurch zu-
stande, dass Herr Venn mit dem Minuszeichen — was nicht erlaubt —
nach den Regeln der Arithmetik operirt, nämlich erst a = b in a — b = 0,
sodann aber (a + b) — (c + d) in (a — c) + (b — d) umschreibt. Behufs
Richtigstellung wäre von unserm § 23 nähere Kenntniss zu nehmen. Der
Fall, bei einem sonst so sorgfältigen Schriftsteller, gibt aber eine Warnung
ab: in der Logik den Gebrauch des Minuszeichens lieber zu vermeiden.) —

Behufs Vereinfachung konnte man, nachdem das Hülfstheorem α) be-
reits bewiesen ist, den Faktor (x y = 0) rechts in ι) auch weglassen, weil
diese Folgerung bereits gezogen erscheint.

Linke Seite unsres Theorems ϑ) ist ein Produkt von vielen Fak-
toren. Nach dem Schema unter ϑ×) des § 45:
(A B ⊆ C) = {A ⊆ (B ⊆ C)}
können auch einzelne Malzeichen zur Linken in Subsumtionszeichen
verwandelt werden, wenn man jeweils alles auf sie folgende in eine
Klammer einschliesst.

Zur Rechten, im Major dagegen können nach Th. 6̄×), weil
A B ⊆ A, auch beliebige Faktoren unterdrückt werden, ohne dass
das Theorem aufhört ein richtiges zu sein, während dann allerdings
dasselbe ein eventuell weniger sagendes wird.

Endlich kann man im Major beliebige Faktoren aus dem Minor
wiederholen kraft Th. 2̅0̅), weil auch (A ⊆ B) ⊆ (A ⊆ A B), sowie
nach Th. 15×) (A B ⊆ C) ⊆ (A B ⊆ B C) sein wird.

Von der zweiten Erlaubniss Gebrauch machend unterdrücken wir
in ϑ) zunächst das letzte Faktorensystem (x y = 0) ‥ und geben dem
Satze kraft der ersten Erlaubniss die Form:
ϰ) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … (a + b + c ‥ = x + y + z ‥) ⊆
⊆ {(x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c) ‥ ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ y) (c ⊆ z) …}
und im Major des Majors wiederholen wir (nach der dritten) den Minor
des letztern, wobei nach Def. (1) das Produkt je zweier entgegen-
gesetzten Subsumtionen sich in eine Gleichung zusammenziehen wird.
So entsteht:
λ) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … (a + b + c ‥ = x + y + z ‥) ⊆
⊆ {(x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c) ‥ ⊆ (x = a) (y = b) (z = c) ‥}

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[287/0311] § 46. Hauber’s Theorem. tionen etc., wie sie oben im Kontext bei dem vorausgeschickten Hülfs- theorem ausführlichst angegeben wurden. Von Venn 1 ist ein scheinbar viel einfacherer Beweis des Satzes ge- geben. Derselbe kommt aber nur durch einen Beweisfehler zustande, nämlich dadurch, dass (l. c.) p. 275 auf Zeile 16 und 15 v. o. ein wie mir scheint gänzlich ungerechtfertigter und verfehlter (nämlich Z. 16 auf einen circulus in demonstrando, eine petitio principii hinauslaufender, Z. 15 aber völlig sinnloser) Ansatz gemacht wird. (Jener kommt dadurch zu- stande, dass Herr Venn mit dem Minuszeichen — was nicht erlaubt — nach den Regeln der Arithmetik operirt, nämlich erst a = b in a — b = 0, sodann aber (a + b) — (c + d) in (a — c) + (b — d) umschreibt. Behufs Richtigstellung wäre von unserm § 23 nähere Kenntniss zu nehmen. Der Fall, bei einem sonst so sorgfältigen Schriftsteller, gibt aber eine Warnung ab: in der Logik den Gebrauch des Minuszeichens lieber zu vermeiden.) — Behufs Vereinfachung konnte man, nachdem das Hülfstheorem α) be- reits bewiesen ist, den Faktor (x y = 0) rechts in ι) auch weglassen, weil diese Folgerung bereits gezogen erscheint. Linke Seite unsres Theorems ϑ) ist ein Produkt von vielen Fak- toren. Nach dem Schema unter ϑ×) des § 45: (A B  C) = {A  (B  C)} können auch einzelne Malzeichen zur Linken in Subsumtionszeichen verwandelt werden, wenn man jeweils alles auf sie folgende in eine Klammer einschliesst. Zur Rechten, im Major dagegen können nach Th. 6̄×), weil A B  A, auch beliebige Faktoren unterdrückt werden, ohne dass das Theorem aufhört ein richtiges zu sein, während dann allerdings dasselbe ein eventuell weniger sagendes wird. Endlich kann man im Major beliebige Faktoren aus dem Minor wiederholen kraft Th. 2̅0̅), weil auch (A  B)  (A  A B), sowie nach Th. 15×) (A B  C)  (A B  B C) sein wird. Von der zweiten Erlaubniss Gebrauch machend unterdrücken wir in ϑ) zunächst das letzte Faktorensystem (x y = 0) ‥ und geben dem Satze kraft der ersten Erlaubniss die Form: ϰ) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … (a + b + c ‥ = x + y + z ‥)   {(x  a) (y  b) (z  c) ‥  (a  x) (b  y) (c  z) …} und im Major des Majors wiederholen wir (nach der dritten) den Minor des letztern, wobei nach Def. (1) das Produkt je zweier entgegen- gesetzten Subsumtionen sich in eine Gleichung zusammenziehen wird. So entsteht: λ) (a b = 0) (a c = 0) (b c = 0) … (a + b + c ‥ = x + y + z ‥)   {(x  a) (y  b) (z  c) ‥  (x = a) (y = b) (z = c) ‥}

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 287. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/311>, abgerufen am 23.11.2024.