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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 23. Vereinfachung der Kettentheorie.
19)
[Formel 1] [Formel 2]
NB5 = (1' + a ; u u)NB5 = {u 0'(a j u)}
vel (u ; a + 1' u)vel {u (u j a)0'}
vel (a ; u + 1' + u ; a u)vel {u (a j u)0'(u j a)}
20)
[Formel 3] [Formel 4]
NB6 = (a ; u + a u)NB6 = {u (a j u)a}
vel (a + u ; a u)vel {u a(u j a)}
vel (a ; u + a + u ; a u)vel {u (a j u)a(u j a)}.

Von diesen Formeln sind alle übrigen blos Sonderfälle von 18),
das ist vom Gespann zu D 44.

Vereinfachte Kettentheorie.

Als Definition der "a-Kette", a0, oder der Kette eines Rela-
tivs a gelte:
21) [Formel 5] ,
wo die Erstreckungsbedingung "NB" des Produktes [Formel 6] laute:
22) NB, = (1' + a ; u u).

Die "Kette von a" ist damit erklärt als das identische Produkt --
oder um es anschaulicher zu sagen: als das umfassendste oder maximale,
"grösste"*) gemeinsame Gebiet, der grösste Gemeinteil -- aller der Rela-
tive x, welche die Forderung 1' + a ; x x erfüllen; das ist also derjenige
Gemeinteil, welcher jeden Gemeinteil der sämtlichen genannten Relative in
sich begreift, aus allen diesen sich additiv zusammensetzen wird. --

In der Hereinziehung des Gliedes 1' zur Erstreckungsbedingung scheint
eine gewisse Willkür zu liegen. Das Befremden über diese mag etwas
gemildert werden durch die Bemerkung, dass neben 0 sich 1' unter den
Moduln dadurch auszeichnet, dass inbezug auf ihn ein jedes Relativ eine
Kette sein muss. Darnach wird es nicht so unerhört erscheinen, dass man
nach denjenigen Ketten inbezug auf a frage, die als Aliorelativnegate jenen
Modul 1' in sich schliessen -- um alsdann deren Produkt zu bilden.

Da die Erstreckungsbedingung zerfällt in
22)a 1' u, und 22)b a ; u u,
so sind die Schemata anwendbar:
P(1' u) = (1' Pu), a ; Pu P(a ; u) Pu,
wovon die letzte Subsumtion nicht als allgemeine Formel gilt, sondern
blos mit Rücksicht auf den zweiten Teil 22)b der Erstreckungs-

*) Der Begriff, die Bezeichnung als "grösser" ist in dieser Theorie nur auf
solche Relative anwendbar, die im Verhältniss des Ganzen zu seinem Teile stehen.

§ 23. Vereinfachung der Kettentheorie.
19)
[Formel 1] [Formel 2]
NB5 = (1' + a ; u ⋹ u)NB5 = {u ⋹ 0'(a ɟ u)}
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20)
[Formel 3] [Formel 4]
NB6 = (a ; u + a ⋹ u)NB6 = {u ⋹ (a ɟ u)a}
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vel (a ; u + a + u ; a ⋹ u)vel {u ⋹ (a ɟ u)a(u ɟ a)}.

Von diesen Formeln sind alle übrigen blos Sonderfälle von 18),
das ist vom Gespann zu D 44.

Vereinfachte Kettentheorie.

Als Definition der „a-Kette“, a0, oder der Kette eines Rela-
tivs a gelte:
21) [Formel 5] ,
wo die Erstreckungsbedingung „NB“ des Produktes [Formel 6] laute:
22) NB, = (1' + a ; u ⋹ u).

Die „Kette von a“ ist damit erklärt als das identische Produkt —
oder um es anschaulicher zu sagen: als das umfassendste oder maximale,
„grösste“*) gemeinsame Gebiet, der grösste Gemeinteil — aller der Rela-
tive x, welche die Forderung 1' + a ; x ⋹ x erfüllen; das ist also derjenige
Gemeinteil, welcher jeden Gemeinteil der sämtlichen genannten Relative in
sich begreift, aus allen diesen sich additiv zusammensetzen wird. —

In der Hereinziehung des Gliedes 1' zur Erstreckungsbedingung scheint
eine gewisse Willkür zu liegen. Das Befremden über diese mag etwas
gemildert werden durch die Bemerkung, dass neben 0 sich 1' unter den
Moduln dadurch auszeichnet, dass inbezug auf ihn ein jedes Relativ eine
Kette sein muss. Darnach wird es nicht so unerhört erscheinen, dass man
nach denjenigen Ketten inbezug auf a frage, die als Aliorelativnegate jenen
Modul 1' in sich schliessen — um alsdann deren Produkt zu bilden.

Da die Erstreckungsbedingung zerfällt in
22)α 1' ⋹ u, und 22)β a ; u ⋹ u,
so sind die Schemata anwendbar:
Π(1' ⋹u) = (1' ⋹Πu), a ; Πu ⋹ Π(a ; u) ⋹ Πu,
wovon die letzte Subsumtion nicht als allgemeine Formel gilt, sondern
blos mit Rücksicht auf den zweiten Teil 22)β der Erstreckungs-

*) Der Begriff, die Bezeichnung als „grösser“ ist in dieser Theorie nur auf
solche Relative anwendbar, die im Verhältniss des Ganzen zu seinem Teile stehen.
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[379/0393] § 23. Vereinfachung der Kettentheorie. 19) [FORMEL] [FORMEL] NB5 = (1' + a ; u ⋹ u) NB5 = {u ⋹ 0'(a ɟ u)} vel (u ; a + 1' ⋹ u) vel {u ⋹ (u ɟ a)0'} vel (a ; u + 1' + u ; a ⋹ u) vel {u ⋹ (a ɟ u)0'(u ɟ a)} 20) [FORMEL] [FORMEL] NB6 = (a ; u + a ⋹ u) NB6 = {u ⋹ (a ɟ u)a} vel (a + u ; a ⋹ u) vel {u ⋹ a(u ɟ a)} vel (a ; u + a + u ; a ⋹ u) vel {u ⋹ (a ɟ u)a(u ɟ a)}. Von diesen Formeln sind alle übrigen blos Sonderfälle von 18), das ist vom Gespann zu D 44. Vereinfachte Kettentheorie. Als Definition der „a-Kette“, a0, oder der Kette eines Rela- tivs a gelte: 21) [FORMEL], wo die Erstreckungsbedingung „NB“ des Produktes [FORMEL] laute: 22) NB, = (1' + a ; u ⋹ u). Die „Kette von a“ ist damit erklärt als das identische Produkt — oder um es anschaulicher zu sagen: als das umfassendste oder maximale, „grösste“ *) gemeinsame Gebiet, der grösste Gemeinteil — aller der Rela- tive x, welche die Forderung 1' + a ; x ⋹ x erfüllen; das ist also derjenige Gemeinteil, welcher jeden Gemeinteil der sämtlichen genannten Relative in sich begreift, aus allen diesen sich additiv zusammensetzen wird. — In der Hereinziehung des Gliedes 1' zur Erstreckungsbedingung scheint eine gewisse Willkür zu liegen. Das Befremden über diese mag etwas gemildert werden durch die Bemerkung, dass neben 0 sich 1' unter den Moduln dadurch auszeichnet, dass inbezug auf ihn ein jedes Relativ eine Kette sein muss. Darnach wird es nicht so unerhört erscheinen, dass man nach denjenigen Ketten inbezug auf a frage, die als Aliorelativnegate jenen Modul 1' in sich schliessen — um alsdann deren Produkt zu bilden. Da die Erstreckungsbedingung zerfällt in 22)α 1' ⋹ u, und 22)β a ; u ⋹ u, so sind die Schemata anwendbar: Π(1' ⋹u) = (1' ⋹Πu), a ; Πu ⋹ Π(a ; u) ⋹ Πu, wovon die letzte Subsumtion nicht als allgemeine Formel gilt, sondern blos mit Rücksicht auf den zweiten Teil 22)β der Erstreckungs- *) Der Begriff, die Bezeichnung als „grösser“ ist in dieser Theorie nur auf solche Relative anwendbar, die im Verhältniss des Ganzen zu seinem Teile stehen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 379. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/393>, abgerufen am 23.11.2024.