Nunmehr sind wir auch in der Lage diejenigen Sätze zu begründen, auf welchen es beruht, dass solch ein "Einzeiler" in unsrer Theorie der binären Relative gedeutet werden kann als "Element" i des ersten Denkbereiches, dass er jederzeit hingestellt werden darf als der Re- präsentant dieses Elementes.
Um als zulässig zu erscheinen, muss solche Deutung des Einzeilers sich in allen Stücken als mit der "rhetorischen Evidenz" (cf. § 4) ver- einbar, im Einklange erweisen -- wozu ein Mehreres gehört.
Zuvörderst müssen gleichwie die Elemente, so auch die Einzeiler sämtlich vom Nichts verschieden, verschiedene auch unter sich disjunkt sein. Dies ist in der That für die Einzeiler bereits mit 5) und 16) erwiesen.
Weiter aber müssen die drei Möglichkeiten, über welche unsre Theorie Verfügung gewann, um auszudrücken, dass i ein a von j sei, sich für die Einzeiler i, j als äquivalent erweisen zu lassen. Die drei Möglichkeiten rekapitulirt und ihre Äquivalenz statuirt der (funda- mentale) Satz: 17) (ai j = 1), = ai j = (ia ; j) = (i : ja).
Über die erste von diesen drei Gleichungen als eine ja schon durch den Aussagenkalkul gegebene brauchen wir kein Wort zu ver- lieren. Die zweite beweist sich wie folgt. Es ist: (ia ; j) = Ph k(ih kSlah ljl k) = Ph k(1'i hSlah l1'j l) = = Ph(1'i hah j) = (1'i iai j) = (1 ai j) = ai j.
Dem Beweise der dritten Äquivalenz wollen wir einen wichtigen Satz voranschicken: 18) i : j = i ; j = ij.
Beweis. Nach der fundamentalen Festsetzung 9) des § 3 ist: (i : j)h k = 1'i h1'j k und dies = ih kjk h = (ij)h k. Somit ist i : j = ij be- wiesen, und dass das identische Produkt von i und j mit dem relativen i ; j übereinstimmt sahen wir bereits mit Satz 11) ein.
Nach diesem merkwürdigen Satze lässt sich das individuelle binäre Relativ i : j auch mittelst der 6 Spezies unsrer Theorie durch i und j ausdrücken; es wird der Doppelpunkt als apartes Knüpfungszeichen -- nachträglich -- entbehrlich, nämlich in der That entbehrlich gemacht schon durch die beiden Spezies: der Konversion und der sei es relativen, sei es identischen Multiplikation.
Um 18) zu einem Gespann zu ergänzen, müsste noch hinter einem Mittelstriche angefügt werden: i : j = in j jn = in + jn.
§ 25. Wichtige Sätze über Elemente.
Nunmehr sind wir auch in der Lage diejenigen Sätze zu begründen, auf welchen es beruht, dass solch ein „Einzeiler“ in unsrer Theorie der binären Relative gedeutet werden kann als „Element“ i des ersten Denkbereiches, dass er jederzeit hingestellt werden darf als der Re- präsentant dieses Elementes.
Um als zulässig zu erscheinen, muss solche Deutung des Einzeilers sich in allen Stücken als mit der „rhetorischen Evidenz“ (cf. § 4) ver- einbar, im Einklange erweisen — wozu ein Mehreres gehört.
Zuvörderst müssen gleichwie die Elemente, so auch die Einzeiler sämtlich vom Nichts verschieden, verschiedene auch unter sich disjunkt sein. Dies ist in der That für die Einzeiler bereits mit 5) und 16) erwiesen.
Weiter aber müssen die drei Möglichkeiten, über welche unsre Theorie Verfügung gewann, um auszudrücken, dass i ein a von j sei, sich für die Einzeiler i, j als äquivalent erweisen zu lassen. Die drei Möglichkeiten rekapitulirt und ihre Äquivalenz statuirt der (funda- mentale) Satz: 17) (ai j = 1), = ai j = (i ⋹ a ; j) = (i : j ⋹ a).
Über die erste von diesen drei Gleichungen als eine ja schon durch den Aussagenkalkul gegebene brauchen wir kein Wort zu ver- lieren. Die zweite beweist sich wie folgt. Es ist: (i ⋹ a ; j) = Πh k(ih k ⋹ Σlah ljl k) = Πh k(1'i h ⋹ Σlah l1'j l) = = Πh(1'i h ⋹ ah j) = (1'i i ⋹ ai j) = (1 ⋹ ai j) = ai j.
Dem Beweise der dritten Äquivalenz wollen wir einen wichtigen Satz voranschicken: 18) i : j = i ; j̆ = ij̆.
Beweis. Nach der fundamentalen Festsetzung 9) des § 3 ist: (i : j)h k = 1'i h1'j k und dies = ih kjk h = (ij̆)h k. Somit ist i : j = ij̆ be- wiesen, und dass das identische Produkt von i und j̆ mit dem relativen i ; j̆ übereinstimmt sahen wir bereits mit Satz 11) ein.
Nach diesem merkwürdigen Satze lässt sich das individuelle binäre Relativ i : j auch mittelst der 6 Spezies unsrer Theorie durch i und j ausdrücken; es wird der Doppelpunkt als apartes Knüpfungszeichen — nachträglich — entbehrlich, nämlich in der That entbehrlich gemacht schon durch die beiden Spezies: der Konversion und der sei es relativen, sei es identischen Multiplikation.
Um 18) zu einem Gespann zu ergänzen, müsste noch hinter einem Mittelstriche angefügt werden: i̅ :̅ j̅ = ī ɟ j̄̆ = ī + j̄̆.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0429"n="415"/><fwplace="top"type="header">§ 25. Wichtige Sätze über Elemente.</fw><lb/><p>Nunmehr sind wir auch in der Lage diejenigen Sätze zu begründen,<lb/>
auf welchen es beruht, dass solch ein „Einzeiler“ in unsrer Theorie der<lb/>
binären Relative gedeutet werden kann als „<hirendition="#i">Element</hi>“<hirendition="#i">i</hi> des ersten<lb/>
Denkbereiches, dass er jederzeit hingestellt werden darf als der Re-<lb/>
präsentant dieses Elementes.</p><lb/><p>Um als <hirendition="#i">zulässig</hi> zu erscheinen, muss solche Deutung des Einzeilers<lb/>
sich in allen Stücken als mit der „rhetorischen Evidenz“ (cf. § 4) ver-<lb/>
einbar, im Einklange erweisen — wozu ein Mehreres gehört.</p><lb/><p>Zuvörderst müssen gleichwie die Elemente, so auch die Einzeiler<lb/>
sämtlich <hirendition="#i">vom Nichts verschieden</hi>, <hirendition="#i">verschiedene</hi> auch unter sich <hirendition="#i">disjunkt</hi><lb/>
sein. Dies ist in der That für die Einzeiler bereits mit 5) und 16)<lb/>
erwiesen.</p><lb/><p>Weiter aber müssen die <hirendition="#i">drei</hi> Möglichkeiten, über welche unsre<lb/>
Theorie Verfügung gewann, um auszudrücken, <hirendition="#i">dass i ein a von j sei</hi>,<lb/>
sich für die Einzeiler <hirendition="#i">i</hi>, <hirendition="#i">j</hi> als äquivalent erweisen zu lassen. Die drei<lb/>
Möglichkeiten rekapitulirt und ihre Äquivalenz statuirt der (funda-<lb/>
mentale) <hirendition="#g">Satz</hi>:<lb/>
17) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = 1), = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hirendition="#i">i</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">j</hi>) = (<hirendition="#i">i</hi> : <hirendition="#i">j</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>).</hi></p><lb/><p>Über die erste von diesen drei Gleichungen als eine ja schon<lb/>
durch den Aussagenkalkul gegebene brauchen wir kein Wort zu ver-<lb/>
lieren. Die zweite <hirendition="#g">beweist</hi> sich wie folgt. Es ist:<lb/><hirendition="#et">(<hirendition="#i">i</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">j</hi>) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h k</hi></hi>(<hirendition="#i">i<hirendition="#sub">h k</hi></hi>⋹<hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">l</hi>a<hirendition="#sub">h l</hi>j<hirendition="#sub">l k</hi></hi>) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h k</hi></hi>(1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi>⋹<hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">l</hi>a<hirendition="#sub">h l</hi></hi>1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">j l</hi></hi>) =<lb/>
= <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h</hi></hi>(1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi>⋹<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h j</hi></hi>) = (1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i i</hi></hi>⋹<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi>) = (1 ⋹<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi>) = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi>.</hi></p><lb/><p>Dem Beweise der dritten Äquivalenz wollen wir einen wichtigen<lb/><hirendition="#g">Satz</hi> voranschicken:<lb/>
18) <hirendition="#et"><hirendition="#i">i</hi> : <hirendition="#i">j</hi> = <hirendition="#i">i</hi> ; <hirendition="#i">j̆</hi> = <hirendition="#i">ij̆</hi>.</hi></p><lb/><p><hirendition="#g">Beweis</hi>. Nach der fundamentalen Festsetzung 9) des § 3 ist:<lb/>
(<hirendition="#i">i</hi> : <hirendition="#i">j</hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">h k</hi></hi> = 1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi>1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">j k</hi></hi> und dies = <hirendition="#i">i<hirendition="#sub">h k</hi>j<hirendition="#sub">k h</hi></hi> = (<hirendition="#i">ij̆</hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">h k</hi></hi>. Somit ist <hirendition="#i">i</hi> : <hirendition="#i">j</hi> = <hirendition="#i">ij̆</hi> be-<lb/>
wiesen, und dass das identische Produkt von <hirendition="#i">i</hi> und <hirendition="#i">j̆</hi> mit dem relativen<lb/><hirendition="#i">i</hi> ; <hirendition="#i">j̆</hi> übereinstimmt sahen wir bereits mit Satz 11) ein.</p><lb/><p>Nach diesem merkwürdigen Satze <hirendition="#i">lässt sich das individuelle binäre<lb/>
Relativ i</hi> : <hirendition="#i">j</hi> auch <hirendition="#i">mittelst der 6 Spezies</hi> unsrer Theorie <hirendition="#i">durch i und j<lb/>
ausdrücken</hi>; es wird <hirendition="#i">der Doppelpunkt</hi> als apartes Knüpfungszeichen —<lb/>
nachträglich —<hirendition="#i">entbehrlich</hi>, nämlich in der That entbehrlich gemacht<lb/>
schon <hirendition="#i">durch</hi> die beiden Spezies: der <hirendition="#i">Konversion</hi> und der <hirendition="#i">sei es relativen</hi>,<lb/><hirendition="#i">sei es identischen Multiplikation</hi>.</p><lb/><p>Um 18) zu einem Gespann zu ergänzen, müsste noch hinter einem<lb/>
Mittelstriche angefügt werden: <hirendition="#i">i̅</hi> :̅<hirendition="#i">j̅</hi> = <hirendition="#i">ī</hi>ɟ<hirendition="#i">j̄̆</hi> = <hirendition="#i">ī</hi> + <hirendition="#i">j̄̆</hi>.</p><lb/></div></div></body></text></TEI>
[415/0429]
§ 25. Wichtige Sätze über Elemente.
Nunmehr sind wir auch in der Lage diejenigen Sätze zu begründen,
auf welchen es beruht, dass solch ein „Einzeiler“ in unsrer Theorie der
binären Relative gedeutet werden kann als „Element“ i des ersten
Denkbereiches, dass er jederzeit hingestellt werden darf als der Re-
präsentant dieses Elementes.
Um als zulässig zu erscheinen, muss solche Deutung des Einzeilers
sich in allen Stücken als mit der „rhetorischen Evidenz“ (cf. § 4) ver-
einbar, im Einklange erweisen — wozu ein Mehreres gehört.
Zuvörderst müssen gleichwie die Elemente, so auch die Einzeiler
sämtlich vom Nichts verschieden, verschiedene auch unter sich disjunkt
sein. Dies ist in der That für die Einzeiler bereits mit 5) und 16)
erwiesen.
Weiter aber müssen die drei Möglichkeiten, über welche unsre
Theorie Verfügung gewann, um auszudrücken, dass i ein a von j sei,
sich für die Einzeiler i, j als äquivalent erweisen zu lassen. Die drei
Möglichkeiten rekapitulirt und ihre Äquivalenz statuirt der (funda-
mentale) Satz:
17) (ai j = 1), = ai j = (i ⋹ a ; j) = (i : j ⋹ a).
Über die erste von diesen drei Gleichungen als eine ja schon
durch den Aussagenkalkul gegebene brauchen wir kein Wort zu ver-
lieren. Die zweite beweist sich wie folgt. Es ist:
(i ⋹ a ; j) = Πh k(ih k ⋹ Σlah ljl k) = Πh k(1'i h ⋹ Σlah l1'j l) =
= Πh(1'i h ⋹ ah j) = (1'i i ⋹ ai j) = (1 ⋹ ai j) = ai j.
Dem Beweise der dritten Äquivalenz wollen wir einen wichtigen
Satz voranschicken:
18) i : j = i ; j̆ = ij̆.
Beweis. Nach der fundamentalen Festsetzung 9) des § 3 ist:
(i : j)h k = 1'i h1'j k und dies = ih kjk h = (ij̆)h k. Somit ist i : j = ij̆ be-
wiesen, und dass das identische Produkt von i und j̆ mit dem relativen
i ; j̆ übereinstimmt sahen wir bereits mit Satz 11) ein.
Nach diesem merkwürdigen Satze lässt sich das individuelle binäre
Relativ i : j auch mittelst der 6 Spezies unsrer Theorie durch i und j
ausdrücken; es wird der Doppelpunkt als apartes Knüpfungszeichen —
nachträglich — entbehrlich, nämlich in der That entbehrlich gemacht
schon durch die beiden Spezies: der Konversion und der sei es relativen,
sei es identischen Multiplikation.
Um 18) zu einem Gespann zu ergänzen, müsste noch hinter einem
Mittelstriche angefügt werden: i̅ :̅ j̅ = ī ɟ j̄̆ = ī + j̄̆.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 415. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/429>, abgerufen am 23.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
