Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Als Beweis der letzten Äquivalenz 17) haben wir nun ähnlich:
(i : j a) = Ph k(1'i h1'k j ah k) = (1'i i1'j j ai j) = (1 ai j) = ai j,
indem wieder diejenigen Faktorenaussagen des Ph k, welche sich bei
h i oder k j ergeben, als auf (0 ah k), = 1 hinauslaufende unter-
drückt werden durften -- q. e. d.

Ferner wird nun die rhetorische Evidenz gebieterisch erheischen,
dass auch folgender Satz für die Einzeiler i und j erweisbar sei:
19) (i a ; j) = (j a ; i).

Sooft nämlich i ein Liebender (a, = amans) ist von j, muss j ein
Geliebter (a, = amatus, -a, -um) sein von i, und umgekehrt.

Beweis. Denn die behauptete Gleichung kommt nach dem Satze 17)
auf die laut fundamentaler Festsetzung geltende Identität hinaus:
ai j = aj i.

Bei diesen Nachweisen hinsichtlich des Einklangs unsrer Theorie
mit der rhetorischen Evidenz in der (ohnehin nirgends systematisch
nennenswert entwickelten) verbalen Logik relativer Begriffe wollen wir
uns vorläufig beruhigen, und an dieser Stelle nicht die Frage zum
Austrag bringen, ob die bereits gegebnen Nachweise auch schon ge-
nügen, jene Übereinstimmung als eine durchgängig bestehende zu be-
gründen oder wenigstens die Interpretation des "Einzeilers" als eines
"Elements" des ersten Denkbereichs vollends zu rechtfertigen, die funda-
mentale Festsetzung 8) des § 3 aus den Bedürfnissen der Logik selbst
zu motiviren. Wir werden fortan, wie früher schon, die beiden Namen
"Einzeiler" und "Element" als synonyme gebrauchen. Wir haben noch
zu viel zu thun mit der Durchführung von Untersuchungen und der
Beantwortung von Fragen, die sich als solche der reinen Algebra (der
Relative) an unsre letzten Betrachtungen knüpfen.

Das Theorem 19), welches, zu einem Gespann ergänzt, lautet:
19) [Formel 1]
hebt einen Sonderfall des zweiten Inversionstheorems hervor, in dem es
-- ausnahmsweise -- möglich ist, einen relativen Faktor auch aus dem
Prädikate einer Subsumtion zu isoliren, so, wie es uns das erste In-
versionstheorem aus dem Subjekte stets gestattet. Dieser Fall liegt
hinsichtlich des zweiten relativen Faktors sicher vor, wenn derselbe
sowie auch das Subjekt der Subsumtion ein Element ist; beim ersten

Als Beweis der letzten Äquivalenz 17) haben wir nun ähnlich:
(i : j ⋹ a) = Πh k(1'i h1'k j ⋹ ah k) = (1'i i1'j j ⋹ ai j) = (1 ⋹ ai j) = ai j,
indem wieder diejenigen Faktorenaussagen des Πh k, welche sich bei
h ≠ i oder k ≠ j ergeben, als auf (0 ⋹ ah k), = 1 hinauslaufende unter-
drückt werden durften — q. e. d.

Ferner wird nun die rhetorische Evidenz gebieterisch erheischen,
dass auch folgender Satz für die Einzeiler i und j erweisbar sei:
19) (i ⋹ a ; j) = (j ⋹ ă ; i).

Sooft nämlich i ein Liebender (a, = amans) ist von j, muss j ein
Geliebter (ă, = amatus, -a, -um) sein von i, und umgekehrt.

Beweis. Denn die behauptete Gleichung kommt nach dem Satze 17)
auf die laut fundamentaler Festsetzung geltende Identität hinaus:
ai j = ăj i.

Bei diesen Nachweisen hinsichtlich des Einklangs unsrer Theorie
mit der rhetorischen Evidenz in der (ohnehin nirgends systematisch
nennenswert entwickelten) verbalen Logik relativer Begriffe wollen wir
uns vorläufig beruhigen, und an dieser Stelle nicht die Frage zum
Austrag bringen, ob die bereits gegebnen Nachweise auch schon ge-
nügen, jene Übereinstimmung als eine durchgängig bestehende zu be-
gründen oder wenigstens die Interpretation des „Einzeilers“ als eines
„Elements“ des ersten Denkbereichs vollends zu rechtfertigen, die funda-
mentale Festsetzung 8) des § 3 aus den Bedürfnissen der Logik selbst
zu motiviren. Wir werden fortan, wie früher schon, die beiden Namen
„Einzeiler“ und „Element“ als synonyme gebrauchen. Wir haben noch
zu viel zu thun mit der Durchführung von Untersuchungen und der
Beantwortung von Fragen, die sich als solche der reinen Algebra (der
Relative) an unsre letzten Betrachtungen knüpfen.

Das Theorem 19), welches, zu einem Gespann ergänzt, lautet:
19) [Formel 1]
hebt einen Sonderfall des zweiten Inversionstheorems hervor, in dem es
— ausnahmsweise — möglich ist, einen relativen Faktor auch aus dem
Prädikate einer Subsumtion zu isoliren, so, wie es uns das erste In-
versionstheorem aus dem Subjekte stets gestattet. Dieser Fall liegt
hinsichtlich des zweiten relativen Faktors sicher vor, wenn derselbe
sowie auch das Subjekt der Subsumtion ein Element ist; beim ersten