§ 26. Zusammenhang mit der Individuumsdefinition identischen Kalkuls.
nach den Methoden des § 11 zusammengezogen die vereinigte Gleichung: 1 ; zun ; 1 ; zu ; 1 = 0 oder zun ; 1 ; zu = 0, welche also nur mehr zu beweisen ist.
Dabei kann z = ij eingesetzt werden.
Nennen wir Z den fraglichen Ausdruck, so ist: Z = zun ; 1 · 1 ; zu = (i ; 1)jun ; 1 · 1 ; i(1 ; j)u = i ; 1 · jun ; 1 · 1 ; j · 1 ; iu = = ij · un(1 ; j) ; 1 · 1 ; (i ; 1)u = ij · un ; j ; 1 · 1 ; i ; u = ij · un ; j · i ; u -- gemäss 6) des § 18, zu vorletzt. Dass dieser Ausdruck nun verschwindet ist einerseits daraus ersichtlich, dass nach 29) des § 25: Z = un ; j · j · i · i ; u = unj · iuuun = 0 wird; andrerseits ist es auch durch die Koeffizientenevidenz nachweisbar, indem: Zh k = ih kjk hSlunh ljl k · Smim hum k = = 1'i h1'j kSlunh l1'j l · Sm1'i mum k = 1'i h1'j kunh jui k, wo das Produkt der beiden ersten Faktoren nur für h = i und j = k nicht verschwinden wird, dafür aber das Produkt der beiden letzten Faktoren als uni j · ui j verschwindet, q. e. d.
Man hätte den Beweis auch ohne die vorhergehende Reduktion des Ausdrucks mit Z = ijun ; 1 ; iju in Gestalt von Zh k = Sl mih ljl hunh l1l mim kjk mum k = = Sl m1'i h1'j lunh l1'm1'j kum k = uni jui j = 0 noch rascher führen können.
Rückwärts ist zu zeigen, dass ein nicht verschwindendes binäres Relativ z, welches die Eigenschaft besitzt, jedem binären Relativ u gegenüber entweder in diesem oder in un enthalten zu sein, notwendig ein Elementepaar i : j sein muss, nämlich die Charakteristik 10) eben- dieses erfüllt.
Dies kann ja ganz leicht durch folgende Überlegung geschehen.
Jedes binäre Relativ ist laut Definition eine Summe von Elemente- paaren, und seine Matrix besteht dementsprechend aus Augen und Leerstellen.
Nun muss die Matrix des der rechten Seite von 24) genügenden z mindestens ein Auge haben, weil z = 0 ausgeschlossen ist. Sei i : j das einem solchen Auge entsprechende Elementepaar, so kann z kein zweites Elementepaar h : k enthalten, m. a. W. die Matrix von z kann (auch) nicht mehr als ein Auge haben. Denn im gegenteiligen Falle würden Relative u existiren und angebbar sein von der Eigenschaft, dass z nachweislich weder in ihnen noch in ihrem Negate enthalten
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§ 26. Zusammenhang mit der Individuumsdefinition identischen Kalkuls.
nach den Methoden des § 11 zusammengezogen die vereinigte Gleichung: 1 ; zū ; 1 ; zu ; 1 = 0 oder zū ; 1 ; zu = 0, welche also nur mehr zu beweisen ist.
Dabei kann z = ij̆ eingesetzt werden.
Nennen wir Z den fraglichen Ausdruck, so ist: Z = zū ; 1 · 1 ; zu = (i ; 1)j̆ū ; 1 · 1 ; i(1 ; j̆)u = i ; 1 · j̆ū ; 1 · 1 ; j̆ · 1 ; iu = = ij̆ · ū(1 ; j̆) ; 1 · 1 ; (i ; 1)u = ij̆ · ū ; j ; 1 · 1 ; ĭ ; u = ij̆ · ū ; j · ĭ ; u — gemäss 6) des § 18, zu vorletzt. Dass dieser Ausdruck nun verschwindet ist einerseits daraus ersichtlich, dass nach 29) des § 25: Z = ū ; j · j̆ · i · ĭ ; u = ūj̆ · iu ⋹ uū = 0 wird; andrerseits ist es auch durch die Koeffizientenevidenz nachweisbar, indem: Zh k = ih kjk hΣlūh ljl k · Σmim hum k = = 1'i h1'j kΣlūh l1'j l · Σm1'i mum k = 1'i h1'j kūh jui k, wo das Produkt der beiden ersten Faktoren nur für h = i und j = k nicht verschwinden wird, dafür aber das Produkt der beiden letzten Faktoren als ūi j · ui j verschwindet, q. e. d.
Man hätte den Beweis auch ohne die vorhergehende Reduktion des Ausdrucks mit Z = ij̆ū ; 1 ; ij̆u in Gestalt von Zh k = Σl mih ljl hūh l1l mim kjk mum k = = Σl m1'i h1'j lūh l1'm1'j kum k = ūi jui j = 0 noch rascher führen können.
Rückwärts ist zu zeigen, dass ein nicht verschwindendes binäres Relativ z, welches die Eigenschaft besitzt, jedem binären Relativ u gegenüber entweder in diesem oder in ū enthalten zu sein, notwendig ein Elementepaar i : j sein muss, nämlich die Charakteristik 10) eben- dieses erfüllt.
Dies kann ja ganz leicht durch folgende Überlegung geschehen.
Jedes binäre Relativ ist laut Definition eine Summe von Elemente- paaren, und seine Matrix besteht dementsprechend aus Augen und Leerstellen.
Nun muss die Matrix des der rechten Seite von 24) genügenden z mindestens ein Auge haben, weil z = 0 ausgeschlossen ist. Sei i : j das einem solchen Auge entsprechende Elementepaar, so kann z kein zweites Elementepaar h : k enthalten, m. a. W. die Matrix von z kann (auch) nicht mehr als ein Auge haben. Denn im gegenteiligen Falle würden Relative u existiren und angebbar sein von der Eigenschaft, dass z nachweislich weder in ihnen noch in ihrem Negate enthalten
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§ 26. Zusammenhang mit der Individuumsdefinition identischen Kalkuls.
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1 ; zū ; 1 ; zu ; 1 = 0 oder zū ; 1 ; zu = 0,
welche also nur mehr zu beweisen ist.
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Nennen wir Z den fraglichen Ausdruck, so ist:
Z = zū ; 1 · 1 ; zu = (i ; 1)j̆ū ; 1 · 1 ; i(1 ; j̆)u = i ; 1 · j̆ū ; 1 · 1 ; j̆ · 1 ; iu =
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— gemäss 6) des § 18, zu vorletzt. Dass dieser Ausdruck nun verschwindet
ist einerseits daraus ersichtlich, dass nach 29) des § 25:
Z = ū ; j · j̆ · i · ĭ ; u = ūj̆ · iu ⋹ uū = 0
wird; andrerseits ist es auch durch die Koeffizientenevidenz nachweisbar,
indem:
Zh k = ih kjk hΣlūh ljl k · Σmim hum k =
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verschwinden wird, dafür aber das Produkt der beiden letzten Faktoren als
ūi j · ui j verschwindet, q. e. d.
Man hätte den Beweis auch ohne die vorhergehende Reduktion des
Ausdrucks mit Z = ij̆ū ; 1 ; ij̆u in Gestalt von
Zh k = Σl mih ljl hūh l1l mim kjk mum k =
= Σl m1'i h1'j lūh l1'm1'j kum k = ūi jui j = 0
noch rascher führen können.
Rückwärts ist zu zeigen, dass ein nicht verschwindendes binäres
Relativ z, welches die Eigenschaft besitzt, jedem binären Relativ u
gegenüber entweder in diesem oder in ū enthalten zu sein, notwendig
ein Elementepaar i : j sein muss, nämlich die Charakteristik 10) eben-
dieses erfüllt.
Dies kann ja ganz leicht durch folgende Überlegung geschehen.
Jedes binäre Relativ ist laut Definition eine Summe von Elemente-
paaren, und seine Matrix besteht dementsprechend aus Augen und
Leerstellen.
Nun muss die Matrix des der rechten Seite von 24) genügenden z
mindestens ein Auge haben, weil z = 0 ausgeschlossen ist. Sei i : j
das einem solchen Auge entsprechende Elementepaar, so kann z kein
zweites Elementepaar h : k enthalten, m. a. W. die Matrix von z kann
(auch) nicht mehr als ein Auge haben. Denn im gegenteiligen Falle
würden Relative u existiren und angebbar sein von der Eigenschaft,
dass z nachweislich weder in ihnen noch in ihrem Negate enthalten
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 435. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/449>, abgerufen am 23.11.2024.
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