Die Darstellung ist nur auf eine Weise möglich. Was nämlich die erstere betrifft, so gilt für a = a ; 1 und b = b ; 1 der Satz: 62) (a = b) = Pi(ai = bi), ebenso (ab) = Pi(aibi).
Denn wegen ai j = ai, bi j = bi haben wir im Hinblick auf (14) des § 3 und Korollar, S. 33 (ai j = bi j) = (ai = bi) auch für jedes j, etc. q. e. d.
Wären nun zwei Darstellungen a = Siaii und a = Sibii zulässig, so müsste, wegen a = a, für jedes i sein bi = ai, d. h. die beiden müssten ganz und gar zusammenfallen; sie wären nicht zweierlei, sondern eins.
Wenn damit die Eindeutigkeit der additiven Darstellung von a er- wiesen ist, so folgt die der multiplikativen durch Kontraposition. Denn hätten wir zwei verschiedene multiplikative Darstellungen für a, so würden sich durch beiderseitiges Negiren auch zwei verschiedene additive Dar- stellungen für an ergeben, was bereits für ein "System" an, so gut wie für a, als unmöglich erwiesen ist, q. e. d.
Der allgemeine Systemkoeffizient ai hat die Bedeutung der Aussage: i ist ein Element von a, d. h. wir haben (Peirce8 p. 197, 6p. 2) 63) (ai = 1), = ai = (ia) -- als ein merkwürdiges Gegenstück zu 17) des § 25.
Um dies zu beweisen, braucht man sich blos die Bedeutung der Subsumtion (ia), als Ph k(ih kah k) = PhPk(1'i hah) = Ph(0'i h + ah = 1) = Ph(0'i h + ah) = ai nach 12) des § 8, zu vergegenwärtigen. Wir können jetzt also sagen: das System ist die Summe, der Inbegriff seiner Elemente.
Wird der Wert aus 63) in die erste Gleichung 59) eingesetzt, so er- halten wir die Darstellung: a = Si(ia)i, welche wesentlich zusammenfällt mit derjenigen, die wir in Bd. 2 S. 345 .. 348 in eigenartiger Betrachtungsweise aufstellten. Wäre ich damals schon weit genug in das Verständniss von Peirce's Theorie der Relative ein- gedrungen gewesen, so würde ich nicht unterlassen haben, an dortiger Stelle zu bemerken, dass diese Darstellung bereits in letzterer von andern und bessern Gesichtspunkten aus gewonnen und zudem (bei ihrer geeignet modifizirten Übertragung auf die höheren Denkbereiche) noch weit über- holt worden.
Insbesondre ist nun auch der zweite Denkbereich 12, das ist der absolute Modul 1, als binäres Relativ betrachtet, ein "System", und zwar gilt: 64) 1 = Sii, 0 = Piin. 1 ist also (auch im zweiten Denkbereiche) das umfassendste, das Uni- versum, Totum aller Systeme, nämlich die Summe sämtlicher "Elemente" des ersten Denkbereiches.
Zehnte Vorlesung.
Die Darstellung ist nur auf eine Weise möglich. Was nämlich die erstere betrifft, so gilt für a = a ; 1 und b = b ; 1 der Satz: 62) (a = b) = Πi(ai = bi), ebenso (a ⋹ b) = Πi(ai ⋹ bi).
Denn wegen ai j = ai, bi j = bi haben wir im Hinblick auf (14) des § 3 und Korollar, S. 33 (ai j = bi j) = (ai = bi) auch für jedes j, etc. q. e. d.
Wären nun zwei Darstellungen a = Σiaii und a = Σibii zulässig, so müsste, wegen a = a, für jedes i sein bi = ai, d. h. die beiden müssten ganz und gar zusammenfallen; sie wären nicht zweierlei, sondern eins.
Wenn damit die Eindeutigkeit der additiven Darstellung von a er- wiesen ist, so folgt die der multiplikativen durch Kontraposition. Denn hätten wir zwei verschiedene multiplikative Darstellungen für a, so würden sich durch beiderseitiges Negiren auch zwei verschiedene additive Dar- stellungen für ā ergeben, was bereits für ein „System“ ā, so gut wie für a, als unmöglich erwiesen ist, q. e. d.
Der allgemeine Systemkoeffizient ai hat die Bedeutung der Aussage: i ist ein Element von a, d. h. wir haben (Peirce8 p. 197, 6p. 2) 63) (ai = 1), = ai = (i ⋹ a) — als ein merkwürdiges Gegenstück zu 17) des § 25.
Um dies zu beweisen, braucht man sich blos die Bedeutung der Subsumtion (i ⋹ a), als Πh k(ih k ⋹ ah k) = ΠhΠk(1'i h ⋹ ah) = Πh(0'i h + ah = 1) = Πh(0'i h + ah) = ai nach 12) des § 8, zu vergegenwärtigen. Wir können jetzt also sagen: das System ist die Summe, der Inbegriff seiner Elemente.
Wird der Wert aus 63) in die erste Gleichung 59) eingesetzt, so er- halten wir die Darstellung: a = Σi(i ⋹ a)i, welche wesentlich zusammenfällt mit derjenigen, die wir in Bd. 2 S. 345 ‥ 348 in eigenartiger Betrachtungsweise aufstellten. Wäre ich damals schon weit genug in das Verständniss von Peirce’s Theorie der Relative ein- gedrungen gewesen, so würde ich nicht unterlassen haben, an dortiger Stelle zu bemerken, dass diese Darstellung bereits in letzterer von andern und bessern Gesichtspunkten aus gewonnen und zudem (bei ihrer geeignet modifizirten Übertragung auf die höheren Denkbereiche) noch weit über- holt worden.
Insbesondre ist nun auch der zweite Denkbereich 12, das ist der absolute Modul 1, als binäres Relativ betrachtet, ein „System“, und zwar gilt: 64) 1 = Σii, 0 = Πiī. 1 ist also (auch im zweiten Denkbereiche) das umfassendste, das Uni- versum, Totum aller Systeme, nämlich die Summe sämtlicher „Elemente“ des ersten Denkbereiches.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0472"n="458"/><fwplace="top"type="header">Zehnte Vorlesung.</fw><lb/><p><hirendition="#i">Die Darstellung ist nur auf eine Weise möglich.</hi> Was nämlich die<lb/>
erstere betrifft, so gilt für <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; 1 und <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">b</hi> ; 1 der Satz:<lb/>
62) (<hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">b</hi>) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">i</hi></hi>(<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi> = <hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i</hi></hi>), ebenso (<hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">b</hi>) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">i</hi></hi>(<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi>⋹<hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i</hi></hi>).</p><lb/><p>Denn wegen <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi>, <hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = <hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i</hi></hi> haben wir im Hinblick auf (14) des<lb/>
§ 3 und Korollar, S. 33 (<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = <hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i j</hi></hi>) = (<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi> = <hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i</hi></hi>) auch für jedes <hirendition="#i">j</hi>, etc. q. e. d.</p><lb/><p>Wären nun zwei Darstellungen <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>a<hirendition="#sub">i</hi>i</hi> und <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>b<hirendition="#sub">i</hi>i</hi> zulässig, so<lb/>
müsste, wegen <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">a</hi>, für jedes <hirendition="#i">i</hi> sein <hirendition="#i">b<hirendition="#sub">i</hi></hi> = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi>, d. h. die beiden müssten<lb/>
ganz und gar zusammenfallen; sie wären nicht zweierlei, sondern eins.</p><lb/><p>Wenn damit die Eindeutigkeit der additiven Darstellung von <hirendition="#i">a</hi> er-<lb/>
wiesen ist, so folgt die der multiplikativen durch Kontraposition. Denn<lb/>
hätten wir zwei verschiedene multiplikative Darstellungen für <hirendition="#i">a</hi>, so würden<lb/>
sich durch beiderseitiges Negiren auch zwei verschiedene additive Dar-<lb/>
stellungen für <hirendition="#i">ā</hi> ergeben, was bereits für ein „System“<hirendition="#i">ā</hi>, so gut wie für <hirendition="#i">a</hi>,<lb/>
als unmöglich erwiesen ist, q. e. d.</p><lb/><p><hirendition="#i">Der allgemeine Systemkoeffizient a<hirendition="#sub">i</hi> hat die Bedeutung der Aussage:<lb/>
i ist ein Element von a</hi>, d. h. wir haben (<hirendition="#g">Peirce</hi><hirendition="#sup">8</hi> p. 197, <hirendition="#sup">6</hi>p. 2)<lb/>
63) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi> = 1), = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi> = (<hirendition="#i">i</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>)</hi><lb/>— als ein merkwürdiges Gegenstück zu 17) des § 25.</p><lb/><p>Um dies zu <hirendition="#g">beweisen</hi>, braucht man sich blos die Bedeutung der<lb/>
Subsumtion (<hirendition="#i">i</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>), als<lb/><hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h k</hi></hi>(<hirendition="#i">i<hirendition="#sub">h k</hi></hi>⋹<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h k</hi></hi>) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h</hi>Π<hirendition="#sub">k</hi></hi>(1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi>⋹<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h</hi></hi>) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h</hi></hi>(0'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi> + <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h</hi></hi> = 1) = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h</hi></hi>(0'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi> + <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h</hi></hi>) = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi><lb/>
nach 12) des § 8, zu vergegenwärtigen. Wir können jetzt also sagen:<lb/>
das System ist die Summe, der Inbegriff <hirendition="#i">seiner</hi> Elemente.</p><lb/><p>Wird der Wert aus 63) in die erste Gleichung 59) eingesetzt, so er-<lb/>
halten wir die Darstellung:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi></hi>(<hirendition="#i">i</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>)<hirendition="#i">i</hi>,</hi><lb/>
welche wesentlich zusammenfällt mit derjenigen, die wir in Bd. 2 S. 345 ‥<lb/>
348 in eigenartiger Betrachtungsweise aufstellten. Wäre ich damals schon<lb/>
weit genug in das Verständniss von <hirendition="#g">Peirce’</hi>s Theorie der Relative ein-<lb/>
gedrungen gewesen, so würde ich nicht unterlassen haben, an dortiger<lb/>
Stelle zu bemerken, dass diese Darstellung bereits in letzterer von andern<lb/>
und bessern Gesichtspunkten aus gewonnen und zudem (bei ihrer geeignet<lb/>
modifizirten Übertragung auf die höheren Denkbereiche) noch weit über-<lb/>
holt worden.</p><lb/><p>Insbesondre ist nun auch der zweite Denkbereich 1<hirendition="#sup">2</hi>, das ist der<lb/>
absolute Modul 1, als <hirendition="#i">binäres</hi> Relativ betrachtet, ein „System“, und<lb/>
zwar gilt:<lb/>
64) <hirendition="#et">1 = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>i</hi>, 0 = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">i</hi>ī</hi>.</hi><lb/>
1 ist also (auch im zweiten Denkbereiche) das umfassendste, das Uni-<lb/>
versum, Totum aller Systeme, nämlich <hirendition="#i">die Summe sämtlicher</hi>„<hirendition="#i">Elemente</hi>“<lb/>
des ersten Denkbereiches.</p><lb/></div></div></body></text></TEI>
[458/0472]
Zehnte Vorlesung.
Die Darstellung ist nur auf eine Weise möglich. Was nämlich die
erstere betrifft, so gilt für a = a ; 1 und b = b ; 1 der Satz:
62) (a = b) = Πi(ai = bi), ebenso (a ⋹ b) = Πi(ai ⋹ bi).
Denn wegen ai j = ai, bi j = bi haben wir im Hinblick auf (14) des
§ 3 und Korollar, S. 33 (ai j = bi j) = (ai = bi) auch für jedes j, etc. q. e. d.
Wären nun zwei Darstellungen a = Σiaii und a = Σibii zulässig, so
müsste, wegen a = a, für jedes i sein bi = ai, d. h. die beiden müssten
ganz und gar zusammenfallen; sie wären nicht zweierlei, sondern eins.
Wenn damit die Eindeutigkeit der additiven Darstellung von a er-
wiesen ist, so folgt die der multiplikativen durch Kontraposition. Denn
hätten wir zwei verschiedene multiplikative Darstellungen für a, so würden
sich durch beiderseitiges Negiren auch zwei verschiedene additive Dar-
stellungen für ā ergeben, was bereits für ein „System“ ā, so gut wie für a,
als unmöglich erwiesen ist, q. e. d.
Der allgemeine Systemkoeffizient ai hat die Bedeutung der Aussage:
i ist ein Element von a, d. h. wir haben (Peirce8 p. 197, 6p. 2)
63) (ai = 1), = ai = (i ⋹ a)
— als ein merkwürdiges Gegenstück zu 17) des § 25.
Um dies zu beweisen, braucht man sich blos die Bedeutung der
Subsumtion (i ⋹ a), als
Πh k(ih k ⋹ ah k) = ΠhΠk(1'i h ⋹ ah) = Πh(0'i h + ah = 1) = Πh(0'i h + ah) = ai
nach 12) des § 8, zu vergegenwärtigen. Wir können jetzt also sagen:
das System ist die Summe, der Inbegriff seiner Elemente.
Wird der Wert aus 63) in die erste Gleichung 59) eingesetzt, so er-
halten wir die Darstellung:
a = Σi(i ⋹ a)i,
welche wesentlich zusammenfällt mit derjenigen, die wir in Bd. 2 S. 345 ‥
348 in eigenartiger Betrachtungsweise aufstellten. Wäre ich damals schon
weit genug in das Verständniss von Peirce’s Theorie der Relative ein-
gedrungen gewesen, so würde ich nicht unterlassen haben, an dortiger
Stelle zu bemerken, dass diese Darstellung bereits in letzterer von andern
und bessern Gesichtspunkten aus gewonnen und zudem (bei ihrer geeignet
modifizirten Übertragung auf die höheren Denkbereiche) noch weit über-
holt worden.
Insbesondre ist nun auch der zweite Denkbereich 12, das ist der
absolute Modul 1, als binäres Relativ betrachtet, ein „System“, und
zwar gilt:
64) 1 = Σii, 0 = Πiī.
1 ist also (auch im zweiten Denkbereiche) das umfassendste, das Uni-
versum, Totum aller Systeme, nämlich die Summe sämtlicher „Elemente“
des ersten Denkbereiches.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 458. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/472>, abgerufen am 23.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
