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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Säule.
Vierung BD, oder EF, vermög des 17den im VI. Und deswegen gehet die Parabel (oder
vergleichende Kegel Lini/) welche/ nach Anleitung der Lini BC durch den Scheitelpunct B,
umb die Mittel-Lini BE gezogen wird/ nohtwendig durch den Punct F, vermög des 11ten
im I. B. Apollonii von denen Kegel-Lineen. Gleicher Weise/ weil AB gegen BE sich
verhält wie BE gegen BD, ist das Rechtekk aus AB in BD gleich der Vierung BE, das ist/
der Vierung DF; und gehet daher/ aus vorigem Grund/ eine andere Parabel/ dienach Anlei-
tung der Lini AB, durch den Scheitelpunct B umb die Mittel-Lini BD gezogen wird/ noht-
wendig wieder durch den Punct F. Woraus erhellet/ daß/ wann AB und BC gegeben sind/
vermittelst zweyer Parabolen/ der Punct F könne gefunden/ und daher/ vermittelst derer senk-
rechten FD und FE, die beyde mittlere gleichverhaltende BE und BD, können kunstrichtig
bestimmet werden; welches also kürzlich die ganze Auflösung ist/ welche Menechmus/ derer
Alten Gewohnheit nach/ durch eine anmuhtige Wiederkehr folgender massen ausführet.

Auflösung.

So nun gegeben sind zwey gerade Lineen AB und BC, zwischen welchen zwey mittlere
gleichverhaltende sollen gefunden werden/ so setze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/
und verlängere sie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beschreibe so dann/ nach Erforderung
der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (also nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem
Umbkreiß auf BE senkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich sey dem Recht-
ekk aus BC und bem Teihl der Mittel-Lini zwischen B und der vorigen senkrechten (hier BE)
Besihe unten die Anmerkung. Wiederumb beschreibe/ voriger massen/ umb BD, nach
Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem sie einander
durchschneiden/ ziehe die senkrechte Lineen FD und FE, so werden BE und BD die begehrte
zwey mittlere gleichverhaltende seyn.

Beweiß.

Dann das Rechtekk aus BE und BC ist gleich der Vierung EF, das ist/ der Vierung
BD, vermög der Auflösung. Darumb verhält sich wie BC gegen BD, also BD gegen
BE, nach dem 17den des VI. Wiederumb/ weil das Rechtekk aus AB und BD gleich
ist der Vierung DF, das ist/ BE, so verhält sich/ wie BD gegen BE, also BE gegen AB; dero-
wegen sind BC, BD, BE, BA vier gleichverhaltende/ und BE sambt BD die zwey mittlern/
welches hat sollen bewiesen werden.

NB. NB.

1. Was gestalt eine Parabel (oder vergleichende Kegel-Lini) kunstrichtig solle verzeich-
net werden; oder vielmehr/ daß dergleichen Lineen waarhaftig in der Ratur zu finden/ und
nach ihren Eigenschafften bekant/ daher auch Geometrisch seyen/ kan aus dem vorhergehenden
leichtlich erhellen: sintemal aus dem besagten klar und offenbar ist/ daß alle und jede Puncten
solcher Lini/ ohne Unterscheid/ auf eine gewisse allgemeine Weise können bestimmet werden.
Dann wann ich zum Exempel auf der Mittel-Lini BE einen Punct nehme nach Belieben (zum
Exempel E) und alsdann zwischen BC und BE die mittlere gleichverhaltende BD finde/ nach
dem 13den des VI. und aus dem genommenen Punct E aufrichte eine senkrechte Lini/ EF,
gleich BD; so ist F ein Punct/ durch welchen die begehrte Lini nohtwendig streichen muß/ und
solcher gestalt können alle andere Puncten bestimmet werden/ aufs wenigste in Gedanken/ wel-
ches zu einer Geometrischen und kunstrichtigen Lini schon genugsam ist/ dieweil der Verstand/
in dem er alle Puncten (wie sie zu finden) würklich für sich sihet/ zugleich auch die ganze Lini
würklich und kunstrichtig ziehet/ nicht anderst/ als er eine Kreiß-Lini verzeichnet/ wann er mit
dem einen Fuß des Cirkels umb den Mittelpunct durch alle Puncten des Umblauffs gleichsam
herumblauffet. Daß aber vermittelst solcher Punctsindung dergleichen Lineen auf dem Papier
sein nett und ununterbrochen nicht können gezogen werden/ daraus ist vielmehr zu schliessen/
daß diese Weise/ eine Lini zu beschreiben/ gar zu Geometrisch (das ist/ zu subtil/ also daß sie nur
von dem Verstand kan verrichtet werden) und nicht recht Mechanisch sey/ als daß man umb-
gekehrt (wie bißher von vielen unbedachtsam geschehen) dieselbe unter die Mechanische rech-
nen/ und von denen Geometrischen ausschliessen wolte.

Damit aber noch deulicher erhelle/ daß die in der Auflösung Menechmi begehrte Lini
ihre kunstrichtige und Geometrische Beschreibung/ so wol als die Kreiß-Lini/ habe/ und daher
unter die Mechanische keinesweges gehöre/ wollen wir hier einen Weg zeigen/ wie sie durch
eine gewisse/ unverrukkte und ununterbrochene Bewegung eines Punctes gezeiget oder ver-
zeichnet werde.

So

Von der Kugel und Rund-Saͤule.
Vierung BD, oder EF, vermoͤg des 17den im VI. Und deswegen gehet die Parabel (oder
vergleichende Kegel Lini/) welche/ nach Anleitung der Lini BC durch den Scheitelpunct B,
umb die Mittel-Lini BE gezogen wird/ nohtwendig durch den Punct F, vermoͤg des 11ten
im I. B. Apollonii von denen Kegel-Lineen. Gleicher Weiſe/ weil AB gegen BE ſich
verhaͤlt wie BE gegen BD, iſt das Rechtekk aus AB in BD gleich der Vierung BE, das iſt/
der Vierung DF; und gehet daher/ aus vorigem Grund/ eine andere Parabel/ dienach Anlei-
tung der Lini AB, durch den Scheitelpunct B umb die Mittel-Lini BD gezogen wird/ noht-
wendig wieder durch den Punct F. Woraus erhellet/ daß/ wann AB und BC gegeben ſind/
vermittelſt zweyer Parabolen/ der Punct F koͤnne gefunden/ und daher/ vermittelſt derer ſenk-
rechten FD und FE, die beyde mittlere gleichverhaltende BE und BD, koͤnnen kunſtrichtig
beſtimmet werden; welches alſo kuͤrzlich die ganze Aufloͤſung iſt/ welche Menechmus/ derer
Alten Gewohnheit nach/ durch eine anmuhtige Wiederkehr folgender maſſen ausfuͤhret.

Aufloͤſung.

So nun gegeben ſind zwey gerade Lineen AB und BC, zwiſchen welchen zwey mittlere
gleichverhaltende ſollen gefunden werden/ ſo ſetze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/
und verlaͤngere ſie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beſchreibe ſo dann/ nach Erforderung
der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (alſo nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem
Umbkreiß auf BE ſenkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich ſey dem Recht-
ekk aus BC und bem Teihl der Mittel-Lini zwiſchen B und der vorigen ſenkrechten (hier BE)
Beſihe unten die Anmerkung. Wiederumb beſchreibe/ voriger maſſen/ umb BD, nach
Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem ſie einander
durchſchneiden/ ziehe die ſenkrechte Lineen FD und FE, ſo werden BE und BD die begehrte
zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn.

Beweiß.

Dann das Rechtekk aus BE und BC iſt gleich der Vierung EF, das iſt/ der Vierung
BD, vermoͤg der Aufloͤſung. Darumb verhaͤlt ſich wie BC gegen BD, alſo BD gegen
BE, nach dem 17den des VI. Wiederumb/ weil das Rechtekk aus AB und BD gleich
iſt der Vierung DF, das iſt/ BE, ſo verhaͤlt ſich/ wie BD gegen BE, alſo BE gegen AB; dero-
wegen ſind BC, BD, BE, BA vier gleichverhaltende/ und BE ſambt BD die zwey mittlern/
welches hat ſollen bewieſen werden.

NB. NB.

1. Was geſtalt eine Parabel (oder vergleichende Kegel-Lini) kunſtrichtig ſolle verzeich-
net werden; oder vielmehr/ daß dergleichen Lineen waarhaftig in der Ratur zu finden/ und
nach ihren Eigenſchafften bekant/ daher auch Geometriſch ſeyen/ kan aus dem vorhergehenden
leichtlich erhellen: ſintemal aus dem beſagten klar und offenbar iſt/ daß alle und jede Puncten
ſolcher Lini/ ohne Unterſcheid/ auf eine gewiſſe allgemeine Weiſe koͤnnen beſtimmet werden.
Dann wann ich zum Exempel auf der Mittel-Lini BE einen Punct nehme nach Belieben (zum
Exempel E) und alsdann zwiſchen BC und BE die mittlere gleichverhaltende BD finde/ nach
dem 13den des VI. und aus dem genommenen Punct E aufrichte eine ſenkrechte Lini/ EF,
gleich BD; ſo iſt F ein Punct/ durch welchen die begehrte Lini nohtwendig ſtreichen muß/ und
ſolcher geſtalt koͤnnen alle andere Puncten beſtimmet werden/ aufs wenigſte in Gedanken/ wel-
ches zu einer Geometriſchen und kunſtrichtigen Lini ſchon genugſam iſt/ dieweil der Verſtand/
in dem er alle Puncten (wie ſie zu finden) wuͤrklich fuͤr ſich ſihet/ zugleich auch die ganze Lini
wuͤrklich und kunſtrichtig ziehet/ nicht anderſt/ als er eine Kreiß-Lini verzeichnet/ wann er mit
dem einen Fuß des Cirkels umb den Mittelpunct durch alle Puncten des Umblauffs gleichſam
herumblauffet. Daß aber vermittelſt ſolcher Punctſindung dergleichen Lineen auf dem Papier
ſein nett und ununterbrochen nicht koͤnnen gezogen werden/ daraus iſt vielmehr zu ſchlieſſen/
daß dieſe Weiſe/ eine Lini zu beſchreiben/ gar zu Geometriſch (das iſt/ zu ſubtil/ alſo daß ſie nur
von dem Verſtand kan verrichtet werden) und nicht recht Mechaniſch ſey/ als daß man umb-
gekehrt (wie bißher von vielen unbedachtſam geſchehen) dieſelbe unter die Mechaniſche rech-
nen/ und von denen Geometriſchen ausſchlieſſen wolte.

Damit aber noch deulicher erhelle/ daß die in der Aufloͤſung Menechmi begehrte Lini
ihre kunſtrichtige und Geometriſche Beſchreibung/ ſo wol als die Kreiß-Lini/ habe/ und daher
unter die Mechaniſche keinesweges gehoͤre/ wollen wir hier einen Weg zeigen/ wie ſie durch
eine gewiſſe/ unverrukkte und ununterbrochene Bewegung eines Punctes gezeiget oder ver-
zeichnet werde.

So
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[119/0147] Von der Kugel und Rund-Saͤule. Vierung BD, oder EF, vermoͤg des 17den im VI. Und deswegen gehet die Parabel (oder vergleichende Kegel Lini/) welche/ nach Anleitung der Lini BC durch den Scheitelpunct B, umb die Mittel-Lini BE gezogen wird/ nohtwendig durch den Punct F, vermoͤg des 11ten im I. B. Apollonii von denen Kegel-Lineen. Gleicher Weiſe/ weil AB gegen BE ſich verhaͤlt wie BE gegen BD, iſt das Rechtekk aus AB in BD gleich der Vierung BE, das iſt/ der Vierung DF; und gehet daher/ aus vorigem Grund/ eine andere Parabel/ dienach Anlei- tung der Lini AB, durch den Scheitelpunct B umb die Mittel-Lini BD gezogen wird/ noht- wendig wieder durch den Punct F. Woraus erhellet/ daß/ wann AB und BC gegeben ſind/ vermittelſt zweyer Parabolen/ der Punct F koͤnne gefunden/ und daher/ vermittelſt derer ſenk- rechten FD und FE, die beyde mittlere gleichverhaltende BE und BD, koͤnnen kunſtrichtig beſtimmet werden; welches alſo kuͤrzlich die ganze Aufloͤſung iſt/ welche Menechmus/ derer Alten Gewohnheit nach/ durch eine anmuhtige Wiederkehr folgender maſſen ausfuͤhret. Aufloͤſung. So nun gegeben ſind zwey gerade Lineen AB und BC, zwiſchen welchen zwey mittlere gleichverhaltende ſollen gefunden werden/ ſo ſetze die beyde gegebene winkelrecht auf einander/ und verlaͤngere ſie gegen D und E, ohne Maaß/ hinaus; beſchreibe ſo dann/ nach Erforderung der Lini BC, umb BE eine Parabel/ (alſo nehmlich/ daß die Vierung einek jeden/ von ihrem Umbkreiß auf BE ſenkrecht gezogenen/ Lini (als hier die Vierung EF) gleich ſey dem Recht- ekk aus BC und bem Teihl der Mittel-Lini zwiſchen B und der vorigen ſenkrechten (hier BE) Beſihe unten die Anmerkung. Wiederumb beſchreibe/ voriger maſſen/ umb BD, nach Erforderung der Lini AB eine andere Parabel/ und aus dem Punct F, in welchem ſie einander durchſchneiden/ ziehe die ſenkrechte Lineen FD und FE, ſo werden BE und BD die begehrte zwey mittlere gleichverhaltende ſeyn. Beweiß. Dann das Rechtekk aus BE und BC iſt gleich der Vierung EF, das iſt/ der Vierung BD, vermoͤg der Aufloͤſung. Darumb verhaͤlt ſich wie BC gegen BD, alſo BD gegen BE, nach dem 17den des VI. Wiederumb/ weil das Rechtekk aus AB und BD gleich iſt der Vierung DF, das iſt/ BE, ſo verhaͤlt ſich/ wie BD gegen BE, alſo BE gegen AB; dero- wegen ſind BC, BD, BE, BA vier gleichverhaltende/ und BE ſambt BD die zwey mittlern/ welches hat ſollen bewieſen werden. NB. NB. 1. Was geſtalt eine Parabel (oder vergleichende Kegel-Lini) kunſtrichtig ſolle verzeich- net werden; oder vielmehr/ daß dergleichen Lineen waarhaftig in der Ratur zu finden/ und nach ihren Eigenſchafften bekant/ daher auch Geometriſch ſeyen/ kan aus dem vorhergehenden leichtlich erhellen: ſintemal aus dem beſagten klar und offenbar iſt/ daß alle und jede Puncten ſolcher Lini/ ohne Unterſcheid/ auf eine gewiſſe allgemeine Weiſe koͤnnen beſtimmet werden. Dann wann ich zum Exempel auf der Mittel-Lini BE einen Punct nehme nach Belieben (zum Exempel E) und alsdann zwiſchen BC und BE die mittlere gleichverhaltende BD finde/ nach dem 13den des VI. und aus dem genommenen Punct E aufrichte eine ſenkrechte Lini/ EF, gleich BD; ſo iſt F ein Punct/ durch welchen die begehrte Lini nohtwendig ſtreichen muß/ und ſolcher geſtalt koͤnnen alle andere Puncten beſtimmet werden/ aufs wenigſte in Gedanken/ wel- ches zu einer Geometriſchen und kunſtrichtigen Lini ſchon genugſam iſt/ dieweil der Verſtand/ in dem er alle Puncten (wie ſie zu finden) wuͤrklich fuͤr ſich ſihet/ zugleich auch die ganze Lini wuͤrklich und kunſtrichtig ziehet/ nicht anderſt/ als er eine Kreiß-Lini verzeichnet/ wann er mit dem einen Fuß des Cirkels umb den Mittelpunct durch alle Puncten des Umblauffs gleichſam herumblauffet. Daß aber vermittelſt ſolcher Punctſindung dergleichen Lineen auf dem Papier ſein nett und ununterbrochen nicht koͤnnen gezogen werden/ daraus iſt vielmehr zu ſchlieſſen/ daß dieſe Weiſe/ eine Lini zu beſchreiben/ gar zu Geometriſch (das iſt/ zu ſubtil/ alſo daß ſie nur von dem Verſtand kan verrichtet werden) und nicht recht Mechaniſch ſey/ als daß man umb- gekehrt (wie bißher von vielen unbedachtſam geſchehen) dieſelbe unter die Mechaniſche rech- nen/ und von denen Geometriſchen ausſchlieſſen wolte. Damit aber noch deulicher erhelle/ daß die in der Aufloͤſung Menechmi begehrte Lini ihre kunſtrichtige und Geometriſche Beſchreibung/ ſo wol als die Kreiß-Lini/ habe/ und daher unter die Mechaniſche keinesweges gehoͤre/ wollen wir hier einen Weg zeigen/ wie ſie durch eine gewiſſe/ unverrukkte und ununterbrochene Bewegung eines Punctes gezeiget oder ver- zeichnet werde. So

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 119. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/147>, abgerufen am 22.11.2024.