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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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I. Abschnitt. [Gleich. 31]

1. Ursache: Jedes der Moleküle m der hervorgehobenen
Art lieferte zur Zeit t in dem Ausdrucke 28 das Glied l f.
Nach der Zeit d t hat die Funktion f den Zuwachs erfahren:
[Formel 1] .
Daher hat l f den Zuwachs erfahren:
[Formel 2] ,

Die Grössen partial f' / partial t und partial F' / partial t hätte man ganz so wie partial f / partial t und
partial F / partial t finden können, wenn man statt eines Zusammenstosses, in wel-
chem die Geschwindigkeitscomponenten vor dem Stosse x, e, z, x1, e1, z1
nach demselben x', e', z', x'1, e'1, z'1 waren, einen solchen betrachtet
hätte, wo sie vor dem Stosse x', e', z', x'1, e'1, z'1, nach demselben aber
x, e, z, x1, e1, z1 sind. Schon die blosse Symmetrie gibt:
[Formel 3] ;
ähnlich partial F' / partial t. Die Substitution dieser Werthe in die Gleichung 30
liefert unter Berücksichtigung, dass die beiden ersten Integrale der rechten
Seite dieser Gleichung verschwinden und dass d o' d o'1 = d o d o1 ist:
31) [Formel 4] .
Da beim Zusammenstosse zweier Moleküle m oder zweier Moleküle m1
die beiden stossenden Moleküle dieselbe Rolle spielen, folgt noch
integral l f (f' f'1 -- f f1) d r = integral l f1 (f' f'1 -- f f1) d r,
integral l f' (f f1 -- f' f'1) d r = integral l f'1 (f f1 -- f' f'1) d r
mit zwei analogen Gleichungen für F. Berücksichtigt man dies und
nimmt aus den beiden Werthen 30 und 31 für d H / d t das Mittel, so
folgt der im Texte gegebene Werth:
[Formel 5] .
Dieser Beweis ist etwas kürzer, scheint aber von gewissen mathe-
matischen Bedingungen (der Erlaubtheit der Differentiation unter dem
Integralzeichen u. s. w.) abhängig, welche thatsächlich nur auf seine Be-
weiskraft, nicht auf die Richtigkeit des Satzes, in dem es sich ja eigentlich
nur um sehr grosse, nicht unendliche Zahlen handelt, von Einfluss sind.
Ganz ohne Einführung bestimmter Integrale wurde der Satz bewiesen
Wiener Sitzungsber. Bd. 66. October 1872. Abschn. II.
I. Abschnitt. [Gleich. 31]

1. Ursache: Jedes der Moleküle m der hervorgehobenen
Art lieferte zur Zeit t in dem Ausdrucke 28 das Glied l f.
Nach der Zeit d t hat die Funktion f den Zuwachs erfahren:
[Formel 1] .
Daher hat l f den Zuwachs erfahren:
[Formel 2] ,

Die Grössen ∂ f' / ∂ t und ∂ F' / ∂ t hätte man ganz so wie ∂ f / ∂ t und
∂ F / ∂ t finden können, wenn man statt eines Zusammenstosses, in wel-
chem die Geschwindigkeitscomponenten vor dem Stosse ξ, η, ζ, ξ1, η1, ζ1
nach demselben ξ', η', ζ', ξ'1, η'1, ζ'1 waren, einen solchen betrachtet
hätte, wo sie vor dem Stosse ξ', η', ζ', ξ'1, η'1, ζ'1, nach demselben aber
ξ, η, ζ, ξ1, η1, ζ1 sind. Schon die blosse Symmetrie gibt:
[Formel 3] ;
ähnlich ∂ F' / ∂ t. Die Substitution dieser Werthe in die Gleichung 30
liefert unter Berücksichtigung, dass die beiden ersten Integrale der rechten
Seite dieser Gleichung verschwinden und dass d ω' d ω'1 = d ω d ω1 ist:
31) [Formel 4] .
Da beim Zusammenstosse zweier Moleküle m oder zweier Moleküle m1
die beiden stossenden Moleküle dieselbe Rolle spielen, folgt noch
∫ l f (f' f'1 — f f1) d r = ∫ l f1 (f' f'1 — f f1) d r,
∫ l f' (f f1 — f' f'1) d r = ∫ l f'1 (f f1 — f' f'1) d r
mit zwei analogen Gleichungen für F. Berücksichtigt man dies und
nimmt aus den beiden Werthen 30 und 31 für d H / d t das Mittel, so
folgt der im Texte gegebene Werth:
[Formel 5] .
Dieser Beweis ist etwas kürzer, scheint aber von gewissen mathe-
matischen Bedingungen (der Erlaubtheit der Differentiation unter dem
Integralzeichen u. s. w.) abhängig, welche thatsächlich nur auf seine Be-
weiskraft, nicht auf die Richtigkeit des Satzes, in dem es sich ja eigentlich
nur um sehr grosse, nicht unendliche Zahlen handelt, von Einfluss sind.
Ganz ohne Einführung bestimmter Integrale wurde der Satz bewiesen
Wiener Sitzungsber. Bd. 66. October 1872. Abschn. II.
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[34/0048] I. Abschnitt. [Gleich. 31] 1. Ursache: Jedes der Moleküle m der hervorgehobenen Art lieferte zur Zeit t in dem Ausdrucke 28 das Glied l f. Nach der Zeit d t hat die Funktion f den Zuwachs erfahren: [FORMEL]. Daher hat l f den Zuwachs erfahren: [FORMEL], 1) 1) Die Grössen ∂ f' / ∂ t und ∂ F' / ∂ t hätte man ganz so wie ∂ f / ∂ t und ∂ F / ∂ t finden können, wenn man statt eines Zusammenstosses, in wel- chem die Geschwindigkeitscomponenten vor dem Stosse ξ, η, ζ, ξ1, η1, ζ1 nach demselben ξ', η', ζ', ξ'1, η'1, ζ'1 waren, einen solchen betrachtet hätte, wo sie vor dem Stosse ξ', η', ζ', ξ'1, η'1, ζ'1, nach demselben aber ξ, η, ζ, ξ1, η1, ζ1 sind. Schon die blosse Symmetrie gibt: [FORMEL]; ähnlich ∂ F' / ∂ t. Die Substitution dieser Werthe in die Gleichung 30 liefert unter Berücksichtigung, dass die beiden ersten Integrale der rechten Seite dieser Gleichung verschwinden und dass d ω' d ω'1 = d ω d ω1 ist: 31) [FORMEL]. Da beim Zusammenstosse zweier Moleküle m oder zweier Moleküle m1 die beiden stossenden Moleküle dieselbe Rolle spielen, folgt noch ∫ l f (f' f'1 — f f1) d r = ∫ l f1 (f' f'1 — f f1) d r, ∫ l f' (f f1 — f' f'1) d r = ∫ l f'1 (f f1 — f' f'1) d r mit zwei analogen Gleichungen für F. Berücksichtigt man dies und nimmt aus den beiden Werthen 30 und 31 für d H / d t das Mittel, so folgt der im Texte gegebene Werth: [FORMEL]. Dieser Beweis ist etwas kürzer, scheint aber von gewissen mathe- matischen Bedingungen (der Erlaubtheit der Differentiation unter dem Integralzeichen u. s. w.) abhängig, welche thatsächlich nur auf seine Be- weiskraft, nicht auf die Richtigkeit des Satzes, in dem es sich ja eigentlich nur um sehr grosse, nicht unendliche Zahlen handelt, von Einfluss sind. Ganz ohne Einführung bestimmter Integrale wurde der Satz bewiesen Wiener Sitzungsber. Bd. 66. October 1872. Abschn. II.

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 34. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/48>, abgerufen am 21.11.2024.