Ist die Zahl in der Formel 3n + 1 enthalten, so ist ihr Quadrat 9nn + 6n + 1, welches durch 3 di- vidirt giebt 3nn + 2n und 1 zum Rest läßt, und also auch zur zweyten Art 3n + 1 gehöret.
Ist endlich die Zahl in dieser Formel 3n + 2 enthalten, so ist ihr Quadrat 9nn + 12n + 4, welches durch 3 dividirt, giebt 3nn + 4n + 1, und 1 im Rest läßt, und also auch zu der zweyten Art 3n + 1 gehöret: daher ist klar, daß alle Quadrat-Zahlen in Ansehung des Theilers 3, nur von zweyerley Arten sind. Dann entweder laßen sich dieselben durch 3 theilen, und als- dann müßen sie sich auch nothwendig durch 9 theilen laßen; oder wann sie sich nicht durch 3 theilen laßen, so bleibt allezeit nur 1 im Rest, niemals aber 2. Dahero keine Zahl, die in der Form 3n + 2 enthalten ist, ein Quadrat seyn kann.
66.
Hieraus können wir nun leicht zeigen, daß die Formel 3xx + 2 niemals ein Quadrat werden kann, man mag für x eine gantze Zahl oder einen Bruch setzen. Dann wann x eine ganze Zahl ist und man theilt diese Formel 3xx + 2 durch 3 so bleiben 2 übrig, daher diese Formel kein Quadrat seyn kann. Wann
aber
Zweyter Abſchnitt
Iſt die Zahl in der Formel 3n + 1 enthalten, ſo iſt ihr Quadrat 9nn + 6n + 1, welches durch 3 di- vidirt giebt 3nn + 2n und 1 zum Reſt laͤßt, und alſo auch zur zweyten Art 3n + 1 gehoͤret.
Iſt endlich die Zahl in dieſer Formel 3n + 2 enthalten, ſo iſt ihr Quadrat 9nn + 12n + 4, welches durch 3 dividirt, giebt 3nn + 4n + 1, und 1 im Reſt laͤßt, und alſo auch zu der zweyten Art 3n + 1 gehoͤret: daher iſt klar, daß alle Quadrat-Zahlen in Anſehung des Theilers 3, nur von zweyerley Arten ſind. Dann entweder laßen ſich dieſelben durch 3 theilen, und als- dann muͤßen ſie ſich auch nothwendig durch 9 theilen laßen; oder wann ſie ſich nicht durch 3 theilen laßen, ſo bleibt allezeit nur 1 im Reſt, niemals aber 2. Dahero keine Zahl, die in der Form 3n + 2 enthalten iſt, ein Quadrat ſeyn kann.
66.
Hieraus koͤnnen wir nun leicht zeigen, daß die Formel 3xx + 2 niemals ein Quadrat werden kann, man mag fuͤr x eine gantze Zahl oder einen Bruch ſetzen. Dann wann x eine ganze Zahl iſt und man theilt dieſe Formel 3xx + 2 durch 3 ſo bleiben 2 uͤbrig, daher dieſe Formel kein Quadrat ſeyn kann. Wann
aber
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Zweyter Abſchnitt
Iſt die Zahl in der Formel 3n + 1 enthalten, ſo
iſt ihr Quadrat 9nn + 6n + 1, welches durch 3 di-
vidirt giebt 3nn + 2n und 1 zum Reſt laͤßt, und
alſo auch zur zweyten Art 3n + 1 gehoͤret.
Iſt endlich die Zahl in dieſer Formel 3n + 2
enthalten, ſo iſt ihr Quadrat 9nn + 12n + 4, welches
durch 3 dividirt, giebt 3nn + 4n + 1, und 1 im Reſt
laͤßt, und alſo auch zu der zweyten Art 3n + 1 gehoͤret:
daher iſt klar, daß alle Quadrat-Zahlen in Anſehung
des Theilers 3, nur von zweyerley Arten ſind. Dann
entweder laßen ſich dieſelben durch 3 theilen, und als-
dann muͤßen ſie ſich auch nothwendig durch 9 theilen
laßen; oder wann ſie ſich nicht durch 3 theilen laßen,
ſo bleibt allezeit nur 1 im Reſt, niemals aber 2. Dahero
keine Zahl, die in der Form 3n + 2 enthalten iſt, ein
Quadrat ſeyn kann.
66.
Hieraus koͤnnen wir nun leicht zeigen, daß die
Formel 3xx + 2 niemals ein Quadrat werden kann,
man mag fuͤr x eine gantze Zahl oder einen Bruch
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theilt dieſe Formel 3xx + 2 durch 3 ſo bleiben 2 uͤbrig,
daher dieſe Formel kein Quadrat ſeyn kann. Wann
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 282. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/284>, abgerufen am 21.11.2024.
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