Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.
Von der unbestimmten Analytic. ßen, daß auch in größern, ja so gar den allergröß-ten Zahlen, keine solche Werthe für x und y vorhan- den seyn können. Und auf eben solche Art wird auch der Satz von der Differenz zweyer Biquadraten x4 - y4 bewiesen, wie wir so gleich zeigen wollen. 205. Um erstlich zu zeigen daß x4 + y4 kein Quadrat I. Nehmen wir an daß die Zahlen x und y untheil- bahr unter sich sind oder keinen gemeinen Thei- ler haben; so sind sie entweder beyde ungerad, oder die eine ist gerad und die andere ungerad. II. Beyde aber können nicht ungerad seyn, weil die Summ von zwey ungeraden Quadraten niemals ein Quadrat seyn kann: dann ein un- gerades Quadrat ist allezeit in der Form 4n + 1 enthalten ist, und also würde die Summ zweyer ungeraden Quadraten diese Form 4 n + 2 haben, welche sich durch 2 nicht aber durch 4 theilen läßt, und also kein Quadrat seyn kann. Dieses aber gilt auch von zwey un- geraden Biquadraten. III. D d 3
Von der unbeſtimmten Analytic. ßen, daß auch in groͤßern, ja ſo gar den allergroͤß-ten Zahlen, keine ſolche Werthe fuͤr x und y vorhan- den ſeyn koͤnnen. Und auf eben ſolche Art wird auch der Satz von der Differenz zweyer Biquadraten x4 - y4 bewieſen, wie wir ſo gleich zeigen wollen. 205. Um erſtlich zu zeigen daß x4 + y4 kein Quadrat I. Nehmen wir an daß die Zahlen x und y untheil- bahr unter ſich ſind oder keinen gemeinen Thei- ler haben; ſo ſind ſie entweder beyde ungerad, oder die eine iſt gerad und die andere ungerad. II. Beyde aber koͤnnen nicht ungerad ſeyn, weil die Summ von zwey ungeraden Quadraten niemals ein Quadrat ſeyn kann: dann ein un- gerades Quadrat iſt allezeit in der Form 4n + 1 enthalten iſt, und alſo wuͤrde die Summ zweyer ungeraden Quadraten dieſe Form 4 n + 2 haben, welche ſich durch 2 nicht aber durch 4 theilen laͤßt, und alſo kein Quadrat ſeyn kann. Dieſes aber gilt auch von zwey un- geraden Biquadraten. III. D d 3
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Von der unbeſtimmten Analytic.
ßen, daß auch in groͤßern, ja ſo gar den allergroͤß-
ten Zahlen, keine ſolche Werthe fuͤr x und y vorhan-
den ſeyn koͤnnen. Und auf eben ſolche Art wird auch
der Satz von der Differenz zweyer Biquadraten x4 - y4
bewieſen, wie wir ſo gleich zeigen wollen.
205.
Um erſtlich zu zeigen daß x4 + y4 kein Quadrat
ſeyn koͤnne außer den beyden Faͤllen die fuͤr ſich klar
ſind, ſo ſind folgende Saͤtze wohl zu bemercken.
I. Nehmen wir an daß die Zahlen x und y untheil-
bahr unter ſich ſind oder keinen gemeinen Thei-
ler haben; ſo ſind ſie entweder beyde ungerad,
oder die eine iſt gerad und die andere ungerad.
II. Beyde aber koͤnnen nicht ungerad ſeyn, weil
die Summ von zwey ungeraden Quadraten
niemals ein Quadrat ſeyn kann: dann ein un-
gerades Quadrat iſt allezeit in der Form 4n + 1
enthalten iſt, und alſo wuͤrde die Summ zweyer
ungeraden Quadraten dieſe Form 4 n + 2
haben, welche ſich durch 2 nicht aber durch
4 theilen laͤßt, und alſo kein Quadrat ſeyn
kann. Dieſes aber gilt auch von zwey un-
geraden Biquadraten.
III.
D d 3
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