und pp + bzqq zu Quadraten machen laßen, und zugleich die kleinsten Werthe für p und q zu bestimmen?
Man setze pp + azqq = rr und pp + bzqq = ss, und man multiplicire die erstere mit b die andere aber mit a, so giebt die Differenz derselben diese Gleichung (b - a)pp = brr - ass und also pp = , welche For- mel also ein Quadrat seyn muß. Da nun solches geschieht wann r = s, so setze man um die Brüche weg zu bringen r = s + (b - a)t, so wird pp = = = = ss + 2bst + b(b - a)tt. Nun setze man p = s + t, so wird pp = ss + . st + tt = ss + 2bst + b(b - a)tt; wo sich die ss aufheben, die übrigen Glieder aber durch t dividirt und mit yy multiplicirt geben; 2bsyy + b(b - a)tyy = 2sxy + txx, daraus t = , dahero . Hieraus bekommt man t = 2xy - 2byy und s = b(b - a)yy - xx; ferner r = 2(b - a)xy -- b(b - a)yy - xx, und daraus p = s + . t = b(b - a)yy + xx - 2bxy = (x - by)2 - abyy. Da wir nun p nebst r und s gefunden haben, so ist noch übrig z zu suchen. Man subtrahire zu diesem Ende die erste Gleichung pp + azqq = rr von der andern
pp
Zweyter Abſchnitt
und pp + bzqq zu Quadraten machen laßen, und zugleich die kleinſten Werthe fuͤr p und q zu beſtimmen?
Man ſetze pp + azqq = rr und pp + bzqq = ss, und man multiplicire die erſtere mit b die andere aber mit a, ſo giebt die Differenz derſelben dieſe Gleichung (b - a)pp = brr - ass und alſo pp = , welche For- mel alſo ein Quadrat ſeyn muß. Da nun ſolches geſchieht wann r = s, ſo ſetze man um die Bruͤche weg zu bringen r = s + (b - a)t, ſo wird pp = = = = ss + 2bst + b(b - a)tt. Nun ſetze man p = s + t, ſo wird pp = ss + . st + tt = ss + 2bst + b(b - a)tt; wo ſich die ss aufheben, die uͤbrigen Glieder aber durch t dividirt und mit yy multiplicirt geben; 2bsyy + b(b - a)tyy = 2sxy + txx, daraus t = , dahero . Hieraus bekommt man t = 2xy - 2byy und s = b(b - a)yy - xx; ferner r = 2(b - a)xy — b(b - a)yy - xx, und daraus p = s + . t = b(b - a)yy + xx - 2bxy = (x - by)2 - abyy. Da wir nun p nebſt r und s gefunden haben, ſo iſt noch uͤbrig z zu ſuchen. Man ſubtrahire zu dieſem Ende die erſte Gleichung pp + azqq = rr von der andern
pp
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Zweyter Abſchnitt
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zugleich die kleinſten Werthe fuͤr p und q zu beſtimmen?
Man ſetze pp + azqq = rr und pp + bzqq = ss,
und man multiplicire die erſtere mit b die andere aber mit
a, ſo giebt die Differenz derſelben dieſe Gleichung
(b - a)pp = brr - ass und alſo pp = [FORMEL], welche For-
mel alſo ein Quadrat ſeyn muß. Da nun ſolches geſchieht
wann r = s, ſo ſetze man um die Bruͤche weg zu bringen
r = s + (b - a)t, ſo wird pp = [FORMEL] =
[FORMEL] = [FORMEL]
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wo ſich die ss aufheben, die uͤbrigen Glieder aber durch t
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b(b - a)tyy = 2sxy + txx, daraus t = [FORMEL], dahero [FORMEL]
[FORMEL]. Hieraus bekommt man t = 2xy - 2byy
und s = b(b - a)yy - xx; ferner r = 2(b - a)xy
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b(b - a)yy + xx - 2bxy = (x - by)2 - abyy.
Da wir nun p nebſt r und s gefunden haben, ſo iſt noch
uͤbrig z zu ſuchen. Man ſubtrahire zu dieſem Ende die
erſte Gleichung pp + azqq = rr von der andern
pp
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 458. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/460>, abgerufen am 22.11.2024.
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