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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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gen Theil der Voraussetzung zu Folge nicht = o, sondern
positiv ist.

Auf ganz ähnliche Weise erhellet die Unmöglichkeit, dass
in allen Punkten eines an A grenzenden Raumes V kleiner
sei, als a.

Offenbar müsste aber wenigstens einer dieser beiden Fälle
Statt finden, wenn unser Theorem falsch wäre.

Dieser Lehrsatz enthält folgende zwei Sätze:

I. Wenn der die Massen enthaltende Raum schalenförmig
einen massenleeren Raum umschliesst, und das Potential in
einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth hat, so gilt
dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen Raumes.

II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum
eingeschlossenen Massen in irgend einem Theile des äussern
Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für den
ganzen unendlichen äussern Raum.

Zugleich erhellet leicht, dass in diesem zweiten Fall der
constante Werth des Potentials kein anderer als 0 sein kann.
Denn wenn man mit M das Aggregat aller Massen falls sie
sämmtlich einerlei Zeichen haben, oder im entgegengesetzten
Fall das Aggregat der positiven oder der negativen Massen
allein, je nachdem jene oder diese überwiegen, bezeichnet, so
ist das Potential in einem Punkte, dessen Entfernung von dem
nächsten Massenelemente = r ist, jedenfalls absolut genommen
kleiner als [Formel 1] , welcher Bruch offenbar im äussern Raume
kleiner als jede angebliche Grösse werden kann.

22.

LEHRSATZ. Ist d s das Element einer einen zusammen-
hängenden endlichen Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft
welche irgendwie vertheilte Massen in d s in der auf die Fläche
normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen oder nach
aussen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem
anziehende oder abstossende Massen als positiv gelten: so wird
das Integral integral P d s über die ganze Fläche ausgedehnt = 4 p M
+ 2 p M', wenn M das Aggregat der im Innern des Raumes
befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Stetigkeit
vertheilten bedeuten.


gen Theil der Voraussetzung zu Folge nicht = o, sondern
positiv ist.

Auf ganz ähnliche Weise erhellet die Unmöglichkeit, daſs
in allen Punkten eines an A grenzenden Raumes V kleiner
sei, als a.

Offenbar müſste aber wenigstens einer dieser beiden Fälle
Statt finden, wenn unser Theorem falsch wäre.

Dieser Lehrsatz enthält folgende zwei Sätze:

I. Wenn der die Massen enthaltende Raum schalenförmig
einen massenleeren Raum umschlieſst, und das Potential in
einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth hat, so gilt
dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen Raumes.

II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum
eingeschlossenen Massen in irgend einem Theile des äuſsern
Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für den
ganzen unendlichen äuſsern Raum.

Zugleich erhellet leicht, daſs in diesem zweiten Fall der
constante Werth des Potentials kein anderer als 0 sein kann.
Denn wenn man mit M das Aggregat aller Massen falls sie
sämmtlich einerlei Zeichen haben, oder im entgegengesetzten
Fall das Aggregat der positiven oder der negativen Massen
allein, je nachdem jene oder diese überwiegen, bezeichnet, so
ist das Potential in einem Punkte, dessen Entfernung von dem
nächsten Massenelemente = r ist, jedenfalls absolut genommen
kleiner als [Formel 1] , welcher Bruch offenbar im äuſsern Raume
kleiner als jede angebliche Gröſse werden kann.

22.

LEHRSATZ. Ist d s das Element einer einen zusammen-
hängenden endlichen Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft
welche irgendwie vertheilte Massen in d s in der auf die Fläche
normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen oder nach
auſsen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem
anziehende oder abstoſsende Massen als positiv gelten: so wird
das Integral ∫ P d s über die ganze Fläche ausgedehnt = 4 π M
+ 2 π M', wenn M das Aggregat der im Innern des Raumes
befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Stetigkeit
vertheilten bedeuten.


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[31/0036] gen Theil der Voraussetzung zu Folge nicht = o, sondern positiv ist. Auf ganz ähnliche Weise erhellet die Unmöglichkeit, daſs in allen Punkten eines an A grenzenden Raumes V kleiner sei, als a. Offenbar müſste aber wenigstens einer dieser beiden Fälle Statt finden, wenn unser Theorem falsch wäre. Dieser Lehrsatz enthält folgende zwei Sätze: I. Wenn der die Massen enthaltende Raum schalenförmig einen massenleeren Raum umschlieſst, und das Potential in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen Raumes. II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum eingeschlossenen Massen in irgend einem Theile des äuſsern Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für den ganzen unendlichen äuſsern Raum. Zugleich erhellet leicht, daſs in diesem zweiten Fall der constante Werth des Potentials kein anderer als 0 sein kann. Denn wenn man mit M das Aggregat aller Massen falls sie sämmtlich einerlei Zeichen haben, oder im entgegengesetzten Fall das Aggregat der positiven oder der negativen Massen allein, je nachdem jene oder diese überwiegen, bezeichnet, so ist das Potential in einem Punkte, dessen Entfernung von dem nächsten Massenelemente = r ist, jedenfalls absolut genommen kleiner als [FORMEL], welcher Bruch offenbar im äuſsern Raume kleiner als jede angebliche Gröſse werden kann. 22. LEHRSATZ. Ist d s das Element einer einen zusammen- hängenden endlichen Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft welche irgendwie vertheilte Massen in d s in der auf die Fläche normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen oder nach auſsen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem anziehende oder abstoſsende Massen als positiv gelten: so wird das Integral ∫ P d s über die ganze Fläche ausgedehnt = 4 π M + 2 π M', wenn M das Aggregat der im Innern des Raumes befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Stetigkeit vertheilten bedeuten.

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 31. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/36>, abgerufen am 04.12.2024.