Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

2. dass, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben,
W in denselben grösser sein muss, oder wenigstens nicht klei-
ner sein kann, als jener constante Werth.

I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt
einer Vertheilungsweise eine andere unendlich wenig davon
verschiedene angenommen wird, indem m + m an die Stelle
von m gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von O
durch 2 integral W m d s ausgedrückt werden wird.

In der That ist, wenn wir die Variationen von O und V
mit dO und dV bezeichnen,
[Formel 1] Allein zugleich ist [Formel 2] , wie leicht aus dem
Lehrsatze des 19 Artikels erhellet, indem dV nichts anders ist,
als das Potential derjenigen Massenvertheilung, wobei m die
Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und also was
hier V, m, dV, m ist, dort für V, K, v, k angenommen werden
kann, so wie d s zugleich für d S und d s. Es wird folglich
[Formel 3] .

II. Offenbar sind die Variationen m allgemein an die Be-
dingung geknüpft, dass integral m d s = 0 werden muss; für die ge-
genwärtige Untersuchung aber auch noch an die zweite, dass
m in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche vorhan-
den sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung
aufhören würde, eine gleichartige zu sein.

III. Nehmen wir nun an, dass bei einer bestimmten Ver-
theilung von M ungleiche Werthe der Grösse W in den ver-
schiedenen Theilen der Fläche Statt finden. Es sei A eine
Grösse, die zwischen den ungleichen Werthen von W liegt;
P das Stück der Fläche, wo die Werthe von W grösser, Q
dasjenige, wo sie kleiner sind, als A; es seien ferner p, q gleich
grosse Stücke der Fläche, jenes zu P, dieses zu Q gehörig.
Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation von m überall in
p den constanten negativen Werth m = -- n, in q hingegen
überall den positiven m = n, und in allen übrigen Theilen
der Fläche den Werth 0 bei. Offenbar wird hiedurch der er-
sten Bedingung in II Genüge geleistet; die zweite hingegen
wird noch erfordern, dass p keine unbelegte Theile enthalte,

2. daſs, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben,
W in denselben gröſser sein muſs, oder wenigstens nicht klei-
ner sein kann, als jener constante Werth.

I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt
einer Vertheilungsweise eine andere unendlich wenig davon
verschiedene angenommen wird, indem m + μ an die Stelle
von m gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von Ω
durch 2 ∫ W μ d s ausgedrückt werden wird.

In der That ist, wenn wir die Variationen von Ω und V
mit δΩ und δV bezeichnen,
[Formel 1] Allein zugleich ist [Formel 2] , wie leicht aus dem
Lehrsatze des 19 Artikels erhellet, indem δV nichts anders ist,
als das Potential derjenigen Massenvertheilung, wobei μ die
Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und also was
hier V, m, δV, μ ist, dort für V, K, v, k angenommen werden
kann, so wie d s zugleich für d S und d s. Es wird folglich
[Formel 3] .

II. Offenbar sind die Variationen μ allgemein an die Be-
dingung geknüpft, daſs ∫ μ d s = 0 werden muſs; für die ge-
genwärtige Untersuchung aber auch noch an die zweite, daſs
μ in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche vorhan-
den sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung
aufhören würde, eine gleichartige zu sein.

III. Nehmen wir nun an, daſs bei einer bestimmten Ver-
theilung von M ungleiche Werthe der Gröſse W in den ver-
schiedenen Theilen der Fläche Statt finden. Es sei A eine
Gröſse, die zwischen den ungleichen Werthen von W liegt;
P das Stück der Fläche, wo die Werthe von W gröſser, Q
dasjenige, wo sie kleiner sind, als A; es seien ferner p, q gleich
groſse Stücke der Fläche, jenes zu P, dieses zu Q gehörig.
Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation von m überall in
p den constanten negativen Werth μ = — ν, in q hingegen
überall den positiven μ = ν, und in allen übrigen Theilen
der Fläche den Werth 0 bei. Offenbar wird hiedurch der er-
sten Bedingung in II Genüge geleistet; die zweite hingegen
wird noch erfordern, daſs p keine unbelegte Theile enthalte,