Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178.

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den, mit einigen Modificationen, auch in der
erweiterten Arithmetik ihren Platz. Das berühmte
Fermatsche Theorem z. B. nimmt hier folgende
Gestalt an: Wenn a + b i eine complexe Prim-
zahl ist, und k eine durch jene nicht theilbare
complexe Zahl, so ist immer kaa + bb -- 1 sqrt 1
für den Modulus a + b i. Ganz besonders merk-
würdig ist es aber, daß das Fundamentaltheorem
für die quadratischen Reste in der Arithmetik der
complexen Zahlen sein vollkommenes, nur hier
noch einfacheres, Gegenstück hat; sind nämlich
a + b i, A + B i complexe Primzahlen, so daß
a und A ungerade, b und B gerade sind, so
ist die erste quadratischer Rest der zweyten, wenn
die zweyte quadratischer Rest der ersten ist, hin-
gegen die erste quadratischer Nichtrest der zwey-
ten, wenn die zweyte quadratischer Nichtrest der
ersten ist.

Indem die Abhandlung nach diesen Vorunter-
suchungen zu der Lehre von den biquadratischen
Resten selbst übergeht, wird zuvörderst anstatt
der bloßen Unterscheidung zwischen biquadrati-
schen Resten und Nichtresten eine Vertheilung
der durch den Modulus nicht theilbaren Zahlen
in vier Klassen festgesetzt. Ist nämlich der Mo-
dulus eine complexe Primzahl a + b i, wo im-
mer a ungerade b gerade vorausgesetzt, und der
Kürze wegen p statt aa + bb geschrieben wird,
und k eine complexe durch a + bi nicht theilbare
Zahl, so wird allemahl k1/4 (p -- 1) einer der Zah-
len + 1, + i, -- 1, -- i congruent seyn, und
dadurch eine Vertheilung sämmtlicher durch a + bi
nicht theilbarer Zahlen in vier Classen begrün-
det, denen der Reihe nach der biquadratische
Character 0, 1, 2, 3 beygelegt wird. Offenbar
bezieht sich der Character 0 auf die biquadrati-
schen Reste, die übrigen auf die biquadratischen

Goͤttingiſche gel. Anzeigen

den, mit einigen Modificationen, auch in der
erweiterten Arithmetik ihren Platz. Das beruͤhmte
Fermatſche Theorem z. B. nimmt hier folgende
Geſtalt an: Wenn a + b i eine complexe Prim-
zahl iſt, und k eine durch jene nicht theilbare
complexe Zahl, ſo iſt immer kaa + bb — 1 √ 1
fuͤr den Modulus a + b i. Ganz beſonders merk-
wuͤrdig iſt es aber, daß das Fundamentaltheorem
fuͤr die quadratiſchen Reſte in der Arithmetik der
complexen Zahlen ſein vollkommenes, nur hier
noch einfacheres, Gegenſtuͤck hat; ſind naͤmlich
a + b i, A + B i complexe Primzahlen, ſo daß
a und A ungerade, b und B gerade ſind, ſo
iſt die erſte quadratiſcher Reſt der zweyten, wenn
die zweyte quadratiſcher Reſt der erſten iſt, hin-
gegen die erſte quadratiſcher Nichtreſt der zwey-
ten, wenn die zweyte quadratiſcher Nichtreſt der
erſten iſt.

Indem die Abhandlung nach dieſen Vorunter-
ſuchungen zu der Lehre von den biquadratiſchen
Reſten ſelbſt uͤbergeht, wird zuvoͤrderſt anſtatt
der bloßen Unterſcheidung zwiſchen biquadrati-
ſchen Reſten und Nichtreſten eine Vertheilung
der durch den Modulus nicht theilbaren Zahlen
in vier Klaſſen feſtgeſetzt. Iſt naͤmlich der Mo-
dulus eine complexe Primzahl a + b i, wo im-
mer a ungerade b gerade vorausgeſetzt, und der
Kuͤrze wegen p ſtatt aa + bb geſchrieben wird,
und k eine complexe durch a + bi nicht theilbare
Zahl, ſo wird allemahl k¼ (p — 1) einer der Zah-
len + 1, + i, — 1, — i congruent ſeyn, und
dadurch eine Vertheilung ſaͤmmtlicher durch a + bi
nicht theilbarer Zahlen in vier Claſſen begruͤn-
det, denen der Reihe nach der biquadratiſche
Character 0, 1, 2, 3 beygelegt wird. Offenbar
bezieht ſich der Character 0 auf die biquadrati-
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[630/0013] Goͤttingiſche gel. Anzeigen den, mit einigen Modificationen, auch in der erweiterten Arithmetik ihren Platz. Das beruͤhmte Fermatſche Theorem z. B. nimmt hier folgende Geſtalt an: Wenn a + b i eine complexe Prim- zahl iſt, und k eine durch jene nicht theilbare complexe Zahl, ſo iſt immer kaa + bb — 1 √ 1 fuͤr den Modulus a + b i. Ganz beſonders merk- wuͤrdig iſt es aber, daß das Fundamentaltheorem fuͤr die quadratiſchen Reſte in der Arithmetik der complexen Zahlen ſein vollkommenes, nur hier noch einfacheres, Gegenſtuͤck hat; ſind naͤmlich a + b i, A + B i complexe Primzahlen, ſo daß a und A ungerade, b und B gerade ſind, ſo iſt die erſte quadratiſcher Reſt der zweyten, wenn die zweyte quadratiſcher Reſt der erſten iſt, hin- gegen die erſte quadratiſcher Nichtreſt der zwey- ten, wenn die zweyte quadratiſcher Nichtreſt der erſten iſt. Indem die Abhandlung nach dieſen Vorunter- ſuchungen zu der Lehre von den biquadratiſchen Reſten ſelbſt uͤbergeht, wird zuvoͤrderſt anſtatt der bloßen Unterſcheidung zwiſchen biquadrati- ſchen Reſten und Nichtreſten eine Vertheilung der durch den Modulus nicht theilbaren Zahlen in vier Klaſſen feſtgeſetzt. Iſt naͤmlich der Mo- dulus eine complexe Primzahl a + b i, wo im- mer a ungerade b gerade vorausgeſetzt, und der Kuͤrze wegen p ſtatt aa + bb geſchrieben wird, und k eine complexe durch a + bi nicht theilbare Zahl, ſo wird allemahl k¼ (p — 1) einer der Zah- len + 1, + i, — 1, — i congruent ſeyn, und dadurch eine Vertheilung ſaͤmmtlicher durch a + bi nicht theilbarer Zahlen in vier Claſſen begruͤn- det, denen der Reihe nach der biquadratiſche Character 0, 1, 2, 3 beygelegt wird. Offenbar bezieht ſich der Character 0 auf die biquadrati- ſchen Reſte, die uͤbrigen auf die biquadratiſchen

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Zitationshilfe:	Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178, hier S. 630. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_theoria_1831/13>, abgerufen am 03.12.2024.

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