Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178.

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Göttingische gel. Anzeigen

kurz in Erinnerung bringen. In Beziehung auf
eine beliebige ganze Zahl p heißt eine andere k
ein biquadratischer Rest, wenn es Zahlen der
Form x4 -- k gibt, die durch p theilbar sind;
im entgegengesetzten Fall heißt sie biquadratischer
Nicht-Rest von p. Es ist zureichend, sich hiebey
auf den Fall einzuschränken, wo p eine Primzahl
der Form 4n + 1, und k durch dieselbe nicht
theilbar ist, da alle andere Fälle entweder für
sich klar, oder auf diesen zurückzuführen sind.

Für einen solchen gegebenen Werth von p
zerfallen sämmtliche durch p nicht theilbare Zah-
len in vier Klassen, wovon die eine die biqua-
dratischen Reste, eine zweyte solche biquadratische
Nicht-Reste, die quadratische Reste von p sind,
enthält, und in die beiden übrigen die biquadra-
tischen Nicht-Reste, welche zugleich quadratische
Nicht-Reste sind, vertheilt werden. Das Prin-
cip dieser Vertheilung besteht darin, daß allemahl
entweder kn -- 1, oder kn + 1, oder kn -- f,
oder kn + f durch p theilbar seyn wird, wo f
eine ganze Zahl bedeutet, die ff + 1 durch p
theilbar macht. Jeder, dem die elementarische
Terminologie bekannt ist, sieht von selbst, wie
diese Worterklärungen in dieselbe eingekleidet
werden.

Die Theorie dieser Classificierung nicht nur für
den an der Oberfläche liegenden Fall k = -- 1,
sondern auch für die, subtile Hülfsuntersuchun-
gen erfordernden Fälle k = +/- 2, findet sich in
der erster Abhandlung ganz vollendet. Im An-
fang der gegenwärtigen Abhandlung wird nun
zu größern Werthen von k fortgeschritten: man
braucht aber dabey zunächst nur solche in Betracht
zu ziehen, die selbst Primzahlen sind, und der
Erfolg zeigt, daß die Resultate am einfachsten
ausfallen, wenn man die Werthe positiv oder

Goͤttingiſche gel. Anzeigen

kurz in Erinnerung bringen. In Beziehung auf
eine beliebige ganze Zahl p heißt eine andere k
ein biquadratiſcher Reſt, wenn es Zahlen der
Form x4 — k gibt, die durch p theilbar ſind;
im entgegengeſetzten Fall heißt ſie biquadratiſcher
Nicht-Reſt von p. Es iſt zureichend, ſich hiebey
auf den Fall einzuſchraͤnken, wo p eine Primzahl
der Form 4n + 1, und k durch dieſelbe nicht
theilbar iſt, da alle andere Faͤlle entweder fuͤr
ſich klar, oder auf dieſen zuruͤckzufuͤhren ſind.

Fuͤr einen ſolchen gegebenen Werth von p
zerfallen ſaͤmmtliche durch p nicht theilbare Zah-
len in vier Klaſſen, wovon die eine die biqua-
dratiſchen Reſte, eine zweyte ſolche biquadratiſche
Nicht-Reſte, die quadratiſche Reſte von p ſind,
enthaͤlt, und in die beiden uͤbrigen die biquadra-
tiſchen Nicht-Reſte, welche zugleich quadratiſche
Nicht-Reſte ſind, vertheilt werden. Das Prin-
cip dieſer Vertheilung beſteht darin, daß allemahl
entweder kn — 1, oder kn + 1, oder kn — f,
oder kn + f durch p theilbar ſeyn wird, wo f
eine ganze Zahl bedeutet, die ff + 1 durch p
theilbar macht. Jeder, dem die elementariſche
Terminologie bekannt iſt, ſieht von ſelbſt, wie
dieſe Worterklaͤrungen in dieſelbe eingekleidet
werden.

Die Theorie dieſer Claſſificierung nicht nur fuͤr
den an der Oberflaͤche liegenden Fall k = — 1,
ſondern auch fuͤr die, ſubtile Huͤlfsunterſuchun-
gen erfordernden Faͤlle k = ± 2, findet ſich in
der erſter Abhandlung ganz vollendet. Im An-
fang der gegenwaͤrtigen Abhandlung wird nun
zu groͤßern Werthen von k fortgeſchritten: man
braucht aber dabey zunaͤchſt nur ſolche in Betracht
zu ziehen, die ſelbſt Primzahlen ſind, und der
Erfolg zeigt, daß die Reſultate am einfachſten
ausfallen, wenn man die Werthe poſitiv oder

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[626/0009] Goͤttingiſche gel. Anzeigen kurz in Erinnerung bringen. In Beziehung auf eine beliebige ganze Zahl p heißt eine andere k ein biquadratiſcher Reſt, wenn es Zahlen der Form x4 — k gibt, die durch p theilbar ſind; im entgegengeſetzten Fall heißt ſie biquadratiſcher Nicht-Reſt von p. Es iſt zureichend, ſich hiebey auf den Fall einzuſchraͤnken, wo p eine Primzahl der Form 4n + 1, und k durch dieſelbe nicht theilbar iſt, da alle andere Faͤlle entweder fuͤr ſich klar, oder auf dieſen zuruͤckzufuͤhren ſind. Fuͤr einen ſolchen gegebenen Werth von p zerfallen ſaͤmmtliche durch p nicht theilbare Zah- len in vier Klaſſen, wovon die eine die biqua- dratiſchen Reſte, eine zweyte ſolche biquadratiſche Nicht-Reſte, die quadratiſche Reſte von p ſind, enthaͤlt, und in die beiden uͤbrigen die biquadra- tiſchen Nicht-Reſte, welche zugleich quadratiſche Nicht-Reſte ſind, vertheilt werden. Das Prin- cip dieſer Vertheilung beſteht darin, daß allemahl entweder kn — 1, oder kn + 1, oder kn — f, oder kn + f durch p theilbar ſeyn wird, wo f eine ganze Zahl bedeutet, die ff + 1 durch p theilbar macht. Jeder, dem die elementariſche Terminologie bekannt iſt, ſieht von ſelbſt, wie dieſe Worterklaͤrungen in dieſelbe eingekleidet werden. Die Theorie dieſer Claſſificierung nicht nur fuͤr den an der Oberflaͤche liegenden Fall k = — 1, ſondern auch fuͤr die, ſubtile Huͤlfsunterſuchun- gen erfordernden Faͤlle k = ± 2, findet ſich in der erſter Abhandlung ganz vollendet. Im An- fang der gegenwaͤrtigen Abhandlung wird nun zu groͤßern Werthen von k fortgeſchritten: man braucht aber dabey zunaͤchſt nur ſolche in Betracht zu ziehen, die ſelbſt Primzahlen ſind, und der Erfolg zeigt, daß die Reſultate am einfachſten ausfallen, wenn man die Werthe poſitiv oder

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Zitationshilfe:	Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178, hier S. 626. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_theoria_1831/9>, abgerufen am 21.11.2024.

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