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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Hebel.
§. 64.

Aus diesem Satze lässt sich sehr leicht eine Regel für die Bestimmung des Schwer-Fig.
17.
Tab.
1.
punktes der zwei Gewichte Q und R ableiten; wenn wir nämlich das Gewicht P = Q + R
setzen, so wird auch (Q + R) A O = Q . O B + R . O C seyn. Wenn wir sonach den
Hebelsarm A O von O nach M übertragen oder A O = O M machen, so ergibt sich von
selbst, dass, wenn wir in M ein Gewicht anhängen, welches der Summe der beiden Ge-
wichte Q und R gleich ist, auch (Q + R) O M = P . A O = Q . O B + R . O C seyn
werde. Demnach ist O M = [Formel 1] . Da nun der Punkt M die Eigenschaft
hat, dass wir in demselben die zwei Gewichte Q und R zusammenlegen können, und da-
durch ein eben so grosses statisches Moment für die Umdrehung des Hebels um den Punkt
O erhalten, als wenn die Gewichte Q und R, jedes an seinem Orte, nämlich Q in B
und R in C den Hebel belasten, so folgt von selbst, dass eine im Punkte M angebrachte,
aufwärts wirkende Kraft, welche der Summe der beiden Gewichte Q + R gleich ist, den
Hebel in Ruhe zu bringen, oder ein eben so vollkommenes Gleichgewicht zwischen P, R
und Q herzustellen im Stande seyn werde, wie diess bei dem zuerst erklärten Hebel der
Fall war, wo der gemeinschaftliche Unterstützungspunkt C (Fig. 15.) die Summe der
beiden Gewichte P und Q zu tragen hatte.

Aus der Gleichung (Q + R) O M = Q . O B + R . O C folgt
Q . O M -- Q . O B = R . O C -- R . O M oder Q . B M = R . C M. Hieraus ist ersichtlich,
dass die Gewichte Q und R im Schwerpunkte M vereinigt, nicht nur ein eben so grosses
Moment um den Punkt O hervorbringen, als sie in B und C mit ihren Hebelsarmen O B
und O C gehabt haben, sondern auch, dass diese Gewichte zugleich unter sich um
ihren Schwerpunkt M im Gleichgewichte stehen.

§. 65.

Mit Hülfe des im §. 63. erwiesenen Satzes können wir nun auch die Bedingnisse für
das Gleichgewicht bei einem schweren oder physischen Hebel angeben. Die
bisherigen Sätze beruhen nämlich auf der Voraussetzung, dass der Hebel selbst keine
Schwere besitze, oder wie eine mathematische Linie betrachtet werden könne.
Allein eine solche Linie bestehet nur in unserer Vorstellung, indem alle Hebel ein eigenes
Gewicht haben, welches demnach noch in Rechnung genommen werden muss. Hiezu
muss vorläufig nicht nur der Hebel gewogen, sondern auch der Ort seines Schwerpunktes
durch Versuche oder auf andere Art ausfindig gemacht werden. Da man sich nämlich das
ganze Gewicht des Hebels in seinem Schwerpunkte vereinigt denken kann, so wird das
Produkt aus dem Gewichte des Hebels in die Entfernung seines Schwerpunktes vom Um-
drehungspunkte sein statisches Moment geben, welches, wenn der Schwerpunkt sich auf
der Seite der Kraft befindet, zum Momente der Kraft, oder wenn er sich auf der Seite der
Last befindet, zum Momente der Last addirt werden muss.

Betrachten wir z. B. eine Brechstange, oder den sogenannten Geissfuss A C,Fig.
18.
der Schwerpunkt desselben sey in B, seine Entfernung vom Unterstützungspunkte
sey O B und das Gewicht desselben = G, so ist im Zustande des Gleichgewichtes
Q . A O = G. B O + P . C O. Es sey z. B. A O = 3 Zoll, B O = 6 Zoll, O C = 36

Gerstners Mechanik. Band I. 11
Hebel.
§. 64.

Aus diesem Satze lässt sich sehr leicht eine Regel für die Bestimmung des Schwer-Fig.
17.
Tab.
1.
punktes der zwei Gewichte Q und R ableiten; wenn wir nämlich das Gewicht P = Q + R
setzen, so wird auch (Q + R) A O = Q . O B + R . O C seyn. Wenn wir sonach den
Hebelsarm A O von O nach M übertragen oder A O = O M machen, so ergibt sich von
selbst, dass, wenn wir in M ein Gewicht anhängen, welches der Summe der beiden Ge-
wichte Q und R gleich ist, auch (Q + R) O M = P . A O = Q . O B + R . O C seyn
werde. Demnach ist O M = [Formel 1] . Da nun der Punkt M die Eigenschaft
hat, dass wir in demselben die zwei Gewichte Q und R zusammenlegen können, und da-
durch ein eben so grosses statisches Moment für die Umdrehung des Hebels um den Punkt
O erhalten, als wenn die Gewichte Q und R, jedes an seinem Orte, nämlich Q in B
und R in C den Hebel belasten, so folgt von selbst, dass eine im Punkte M angebrachte,
aufwärts wirkende Kraft, welche der Summe der beiden Gewichte Q + R gleich ist, den
Hebel in Ruhe zu bringen, oder ein eben so vollkommenes Gleichgewicht zwischen P, R
und Q herzustellen im Stande seyn werde, wie diess bei dem zuerst erklärten Hebel der
Fall war, wo der gemeinschaftliche Unterstützungspunkt C (Fig. 15.) die Summe der
beiden Gewichte P und Q zu tragen hatte.

Aus der Gleichung (Q + R) O M = Q . O B + R . O C folgt
Q . O M — Q . O B = R . O C — R . O M oder Q . B M = R . C M. Hieraus ist ersichtlich,
dass die Gewichte Q und R im Schwerpunkte M vereinigt, nicht nur ein eben so grosses
Moment um den Punkt O hervorbringen, als sie in B und C mit ihren Hebelsarmen O B
und O C gehabt haben, sondern auch, dass diese Gewichte zugleich unter sich um
ihren Schwerpunkt M im Gleichgewichte stehen.

§. 65.

Mit Hülfe des im §. 63. erwiesenen Satzes können wir nun auch die Bedingnisse für
das Gleichgewicht bei einem schweren oder physischen Hebel angeben. Die
bisherigen Sätze beruhen nämlich auf der Voraussetzung, dass der Hebel selbst keine
Schwere besitze, oder wie eine mathematische Linie betrachtet werden könne.
Allein eine solche Linie bestehet nur in unserer Vorstellung, indem alle Hebel ein eigenes
Gewicht haben, welches demnach noch in Rechnung genommen werden muss. Hiezu
muss vorläufig nicht nur der Hebel gewogen, sondern auch der Ort seines Schwerpunktes
durch Versuche oder auf andere Art ausfindig gemacht werden. Da man sich nämlich das
ganze Gewicht des Hebels in seinem Schwerpunkte vereinigt denken kann, so wird das
Produkt aus dem Gewichte des Hebels in die Entfernung seines Schwerpunktes vom Um-
drehungspunkte sein statisches Moment geben, welches, wenn der Schwerpunkt sich auf
der Seite der Kraft befindet, zum Momente der Kraft, oder wenn er sich auf der Seite der
Last befindet, zum Momente der Last addirt werden muss.

Betrachten wir z. B. eine Brechstange, oder den sogenannten Geissfuss A C,Fig.
18.
der Schwerpunkt desselben sey in B, seine Entfernung vom Unterstützungspunkte
sey O B und das Gewicht desselben = G, so ist im Zustande des Gleichgewichtes
Q . A O = G. B O + P . C O. Es sey z. B. A O = 3 Zoll, B O = 6 Zoll, O C = 36

Gerstners Mechanik. Band I. 11
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[81/0111] Hebel. §. 64. Aus diesem Satze lässt sich sehr leicht eine Regel für die Bestimmung des Schwer- punktes der zwei Gewichte Q und R ableiten; wenn wir nämlich das Gewicht P = Q + R setzen, so wird auch (Q + R) A O = Q . O B + R . O C seyn. Wenn wir sonach den Hebelsarm A O von O nach M übertragen oder A O = O M machen, so ergibt sich von selbst, dass, wenn wir in M ein Gewicht anhängen, welches der Summe der beiden Ge- wichte Q und R gleich ist, auch (Q + R) O M = P . A O = Q . O B + R . O C seyn werde. Demnach ist O M = [FORMEL]. Da nun der Punkt M die Eigenschaft hat, dass wir in demselben die zwei Gewichte Q und R zusammenlegen können, und da- durch ein eben so grosses statisches Moment für die Umdrehung des Hebels um den Punkt O erhalten, als wenn die Gewichte Q und R, jedes an seinem Orte, nämlich Q in B und R in C den Hebel belasten, so folgt von selbst, dass eine im Punkte M angebrachte, aufwärts wirkende Kraft, welche der Summe der beiden Gewichte Q + R gleich ist, den Hebel in Ruhe zu bringen, oder ein eben so vollkommenes Gleichgewicht zwischen P, R und Q herzustellen im Stande seyn werde, wie diess bei dem zuerst erklärten Hebel der Fall war, wo der gemeinschaftliche Unterstützungspunkt C (Fig. 15.) die Summe der beiden Gewichte P und Q zu tragen hatte. Fig. 17. Tab. 1. Aus der Gleichung (Q + R) O M = Q . O B + R . O C folgt Q . O M — Q . O B = R . O C — R . O M oder Q . B M = R . C M. Hieraus ist ersichtlich, dass die Gewichte Q und R im Schwerpunkte M vereinigt, nicht nur ein eben so grosses Moment um den Punkt O hervorbringen, als sie in B und C mit ihren Hebelsarmen O B und O C gehabt haben, sondern auch, dass diese Gewichte zugleich unter sich um ihren Schwerpunkt M im Gleichgewichte stehen. §. 65. Mit Hülfe des im §. 63. erwiesenen Satzes können wir nun auch die Bedingnisse für das Gleichgewicht bei einem schweren oder physischen Hebel angeben. Die bisherigen Sätze beruhen nämlich auf der Voraussetzung, dass der Hebel selbst keine Schwere besitze, oder wie eine mathematische Linie betrachtet werden könne. Allein eine solche Linie bestehet nur in unserer Vorstellung, indem alle Hebel ein eigenes Gewicht haben, welches demnach noch in Rechnung genommen werden muss. Hiezu muss vorläufig nicht nur der Hebel gewogen, sondern auch der Ort seines Schwerpunktes durch Versuche oder auf andere Art ausfindig gemacht werden. Da man sich nämlich das ganze Gewicht des Hebels in seinem Schwerpunkte vereinigt denken kann, so wird das Produkt aus dem Gewichte des Hebels in die Entfernung seines Schwerpunktes vom Um- drehungspunkte sein statisches Moment geben, welches, wenn der Schwerpunkt sich auf der Seite der Kraft befindet, zum Momente der Kraft, oder wenn er sich auf der Seite der Last befindet, zum Momente der Last addirt werden muss. Betrachten wir z. B. eine Brechstange, oder den sogenannten Geissfuss A C, der Schwerpunkt desselben sey in B, seine Entfernung vom Unterstützungspunkte sey O B und das Gewicht desselben = G, so ist im Zustande des Gleichgewichtes Q . A O = G. B O + P . C O. Es sey z. B. A O = 3 Zoll, B O = 6 Zoll, O C = 36 Fig. 18. Gerstners Mechanik. Band I. 11

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 81. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/111>, abgerufen am 21.11.2024.