Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Gewicht der Treibketten. der Kette von unten nach oben in einer geometrischen Progressionzunehmen müssen, wenn das Tragungsvermögen in jedem Querschnit- te der Kette gleich seyn soll. *) §. 247. Da es beschwerlich ist, die Gewichte einer jeden einzelnen Klafter Kette zu berech- *) Strenger lässt sich die Rechnung auf folgende Art führen: Es sey A M N n m a das Profil der Ket-Fig. 7. Tab. 14. te; die unbestimmte Länge derselben B O = x, O o = d x; die Querschnittsflächen A a = f und M m = y; die Last, welche an B angehängt ist, oder das Gewicht der Ladung sammt der Tonne = Q + T und das unbestimmte Gewicht der Kette B O = S. Nach §. 239 müssen die Querschnittsflächen f, y den Gewichten Q + T und Q + T + S proportional seyn; demnach ist : f : y = Q + T : Q + T + S, folglich [Formel 1] . Wird hier zu beiden Seiten mit d x multiplicirt, so ist [Formel 2] d x, und wenn wir das Gewicht der kubischen Einheit (z. B. eines Kubikzolles Eisen = 1/4 Lb) = g setzen und im ersten Gliede den Zähler und Nenner mit g multipliciren, so ist [Formel 3] d x; da aber g . y . d x = d S ist, so haben wir auch [Formel 4] d x, demnach [Formel 5] = g . f . d x. Hievon ist das Integrale (Q + T) nat. log. [Formel 6] = g . f . x. Setzen wir die Basis der natürlichen Logarithmen = e, folglich nat. log. e = 1, so gibt die Glei- chung nat. log. [Formel 7] . nat. log. e den weitern Werth [Formel 8] ; demnach ist das Gewicht der Kette von der Länge x oder S = (Q + T) [Formel 9] . In dieser Gleichung ist g . f offenbar = dem Gewichte der untersten Einheit der Kettenlänge, folg- lich wenn die Länge x nach Klaftern gerechnet wird, so ist g . f das Gewicht der untersten Klafter der Kette. Zur Berechnung des Gewichtes der Kette S ist demnach nothwendig, das Verhältniss des Gewichtes der ersten Kettenklafter zum Gewichte der daran zu hängenden Last Q + T durch genaue Versuche auszumitteln. Wenn wir zu einem Beispiele das Kraftvermögen der eisernen Kette nur dem Kraftvermögen des aus Hanf verfertigten Klobenseiles §. 241 gleich setzen, so ist 1 : 300 = g . f : Q + T; so- nach wäre das Gewicht der x Klafter langen Kette S = (Q + T) [Formel 10] . Setzen wir nun die Last der beladenen Tonne Q + T = 1200 Lb, und die Länge der Kette oder die seigere Tiefe des Bergschachtes = 100 Klafter, so ist das Gewicht der Kette S = 1200 [Formel 11] = 1200 . 0,395623 = 474,75 Pfund. 32 *
Gewicht der Treibketten. der Kette von unten nach oben in einer geometrischen Progressionzunehmen müssen, wenn das Tragungsvermögen in jedem Querschnit- te der Kette gleich seyn soll. *) §. 247. Da es beschwerlich ist, die Gewichte einer jeden einzelnen Klafter Kette zu berech- *) Strenger lässt sich die Rechnung auf folgende Art führen: Es sey A M N n m a das Profil der Ket-Fig. 7. Tab. 14. te; die unbestimmte Länge derselben B O = x, O o = d x; die Querschnittsflächen A a = f und M m = y; die Last, welche an B angehängt ist, oder das Gewicht der Ladung sammt der Tonne = Q + T und das unbestimmte Gewicht der Kette B O = S. Nach §. 239 müssen die Querschnittsflächen f, y den Gewichten Q + T und Q + T + S proportional seyn; demnach ist : f : y = Q + T : Q + T + S, folglich [Formel 1] . Wird hier zu beiden Seiten mit d x multiplicirt, so ist [Formel 2] d x, und wenn wir das Gewicht der kubischen Einheit (z. B. eines Kubikzolles Eisen = ¼ ℔) = g setzen und im ersten Gliede den Zähler und Nenner mit g multipliciren, so ist [Formel 3] d x; da aber g . y . d x = d S ist, so haben wir auch [Formel 4] d x, demnach [Formel 5] = g . f . d x. Hievon ist das Integrale (Q + T) nat. log. [Formel 6] = g . f . x. Setzen wir die Basis der natürlichen Logarithmen = e, folglich nat. log. e = 1, so gibt die Glei- chung nat. log. [Formel 7] . nat. log. e den weitern Werth [Formel 8] ; demnach ist das Gewicht der Kette von der Länge x oder S = (Q + T) [Formel 9] . In dieser Gleichung ist g . f offenbar = dem Gewichte der untersten Einheit der Kettenlänge, folg- lich wenn die Länge x nach Klaftern gerechnet wird, so ist g . f das Gewicht der untersten Klafter der Kette. Zur Berechnung des Gewichtes der Kette S ist demnach nothwendig, das Verhältniss des Gewichtes der ersten Kettenklafter zum Gewichte der daran zu hängenden Last Q + T durch genaue Versuche auszumitteln. Wenn wir zu einem Beispiele das Kraftvermögen der eisernen Kette nur dem Kraftvermögen des aus Hanf verfertigten Klobenseiles §. 241 gleich setzen, so ist 1 : 300 = g . f : Q + T; so- nach wäre das Gewicht der x Klafter langen Kette S = (Q + T) [Formel 10] . Setzen wir nun die Last der beladenen Tonne Q + T = 1200 ℔, und die Länge der Kette oder die seigere Tiefe des Bergschachtes = 100 Klafter, so ist das Gewicht der Kette S = 1200 [Formel 11] = 1200 . 0,395623 = 474,75 Pfund. 32 *
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Gewicht der Treibketten.
der Kette von unten nach oben in einer geometrischen Progression
zunehmen müssen, wenn das Tragungsvermögen in jedem Querschnit-
te der Kette gleich seyn soll. *)
§. 247.
Da es beschwerlich ist, die Gewichte einer jeden einzelnen Klafter Kette zu berech-
nen, und da dieselben ohnehin in der Nähe nicht viel von einander abweichen, so kann
man zur Erleichterung der Rechnung annehmen, dass z. B. immer fünf Klafter der Kette
eine gleiche Stärke erhalten. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich auf gleiche Art,
wie im vorigen §.
*) Strenger lässt sich die Rechnung auf folgende Art führen: Es sey A M N n m a das Profil der Ket-
te; die unbestimmte Länge derselben B O = x, O o = d x; die Querschnittsflächen A a = f und
M m = y; die Last, welche an B angehängt ist, oder das Gewicht der Ladung sammt der Tonne
= Q + T und das unbestimmte Gewicht der Kette B O = S.
Nach §. 239 müssen die Querschnittsflächen f, y den Gewichten Q + T und Q + T + S
proportional seyn; demnach ist : f : y = Q + T : Q + T + S, folglich [FORMEL].
Wird hier zu beiden Seiten mit d x multiplicirt, so ist [FORMEL] d x, und wenn
wir das Gewicht der kubischen Einheit (z. B. eines Kubikzolles Eisen = ¼ ℔) = g setzen und im
ersten Gliede den Zähler und Nenner mit g multipliciren, so ist [FORMEL] d x;
da aber g . y . d x = d S ist, so haben wir auch [FORMEL] d x, demnach
[FORMEL] = g . f . d x. Hievon ist das Integrale (Q + T) nat. log. [FORMEL] = g . f . x.
Setzen wir die Basis der natürlichen Logarithmen = e, folglich nat. log. e = 1, so gibt die Glei-
chung nat. log. [FORMEL]. nat. log. e den weitern Werth [FORMEL];
demnach ist das Gewicht der Kette von der Länge x oder S = (Q + T) [FORMEL].
In dieser Gleichung ist g . f offenbar = dem Gewichte der untersten Einheit der Kettenlänge, folg-
lich wenn die Länge x nach Klaftern gerechnet wird, so ist g . f das Gewicht der untersten Klafter
der Kette. Zur Berechnung des Gewichtes der Kette S ist demnach nothwendig, das Verhältniss
des Gewichtes der ersten Kettenklafter zum Gewichte der daran zu hängenden Last Q + T durch
genaue Versuche auszumitteln.
Wenn wir zu einem Beispiele das Kraftvermögen der eisernen Kette nur dem Kraftvermögen
des aus Hanf verfertigten Klobenseiles §. 241 gleich setzen, so ist 1 : 300 = g . f : Q + T; so-
nach wäre das Gewicht der x Klafter langen Kette S = (Q + T) [FORMEL]. Setzen wir
nun die Last der beladenen Tonne Q + T = 1200 ℔, und die Länge der Kette oder die seigere
Tiefe des Bergschachtes = 100 Klafter, so ist das Gewicht der Kette
S = 1200 [FORMEL] = 1200 . 0,395623 = 474,75 Pfund.
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 251. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/281>, abgerufen am 21.11.2024. |
