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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Gesetz für schiefe Zusammenstellungen mehrerer Körper.
§. 366.

In den vorigen Paragraphen wurden die Bedingnisse angegeben, unter welchen
zwei schwere schiefgestellte Balken sich stützen, und unter einander das Gleichge-
wicht halten; es ist nun noch übrig, das Gesetz zu bestimmen, nach welchem mehre-
re solche prismatische Körper (Balken oder Steine) in schiefer Richtung auf einander
gestellt werden können, wenn sie sich das Gleichgewicht halten sollen.

Fig.
1.
Tab.
18.

Ist nämlich der Stellungswinkel des ersten Prisma zum Horizonte, c b a = a, dessen Ge-
wicht = A, so wirkt nach §. 351 sowohl in c als auch in b der Druck [Formel 1] senkrecht her-
ab. Da dieser senkrechte Druck in c nach seiner Richtung c a keine Unterstützung
findet, so trage man denselben = c d auf; er zerlegt sich nun in einen horizontalen
c f = H und in einen schiefen c e nach der Richtung des Prisma, und es verhält sich
[Formel 2] , folglich ist tang [Formel 3] (I).

Der horizontale Druck c f = H drückt in c an irgend einen Körper, an welchen
das Prisma gelehnt ist, und dieser muss mit seiner Stabilität diesem Drucke widerste-
hen; der schiefe Druck c e hingegen wirkt in der Richtung des Prisma c b fortlau-
fend. Trägt man daher auf die Verlängerung des Prisma den schiefen Druck von
b nach g auf und zerlegt selben in einen horizontalen und senkrechten, so ist nach
Ergänzung des Parallelogramms, da das Dreieck b g h mit dem Dreiecke c d f congruent ist,
b h = c f = H und g h = c d = 1/2 A d. h. am Endpunkte des ersten Prisma fin-
det derselbe horizontale Druck statt, wie oben. Da aber bereits
bemerkt wurde, dass in b noch das Gewicht der zweiten Hälfte 1/2 A des ersten
Prisma wirke, so ist der gesammte senkrechte Druck in b = A. Soll nun dieses er-
ste Prisma durch ein zweites, dessen Gewicht B ist, gehörig unterstützt werden, so
findet im Punkte b, da noch die Hälfte des Gewichtes des zweiten Prisma 1/2 B senk-
recht herabwirkt, der senkrechte Druck A + 1/2 B und der horizontale Druck H statt.
Wird nun dieses zweite Prisma so gestellt, dass es den ganzen Druck des obern und
zugleich die Hälfte seines eigenen Gewichtes am obern Ende gehörig aufnimmt, und
trägt man den Druck A + 1/2 B = b i senkrecht unter b dann den Druck H = b h
auf, so wird nach Ergänzung des Parallelogramms die Diagonale b l die Stellung des
zweiten Prisma angeben, und es verhält sich H : A + 1/2 B = 1 : tang b, folglich ist
tang [Formel 4] (II).

Der mittlere Druck wirkt ebenfalls in der Verlängerung des zweiten Prisma und
behält am Ende desselben die gleiche Grösse. Trägt man sich daher diesen Druck b l
am untern Ende = m n auf, und zerlegt ihn wie oben in einen horizontalen und
senkrechten, so findet hier ebenfalls, der Congruenz der Dreiecke zu Folge, in m
derselbe horizontale und senkrechte Druck statt, welcher in b statt fand. Da aber in
m noch die zweite Hälfte des Gewichtes vom zweiten Prisma oder 1/2 B und das halbe
Gewicht des dritten Prisma 1/2 C senkrecht herab wirkt, so ist der gesammte senkrechte
Druck in m = A + B + 1/2 C und der horizontale = H. Ergänzt man das Paral-
lelogramm und zieht die Diagonale m o, so erhält man die Grösse des mittlern Dru-

Gesetz für schiefe Zusammenstellungen mehrerer Körper.
§. 366.

In den vorigen Paragraphen wurden die Bedingnisse angegeben, unter welchen
zwei schwere schiefgestellte Balken sich stützen, und unter einander das Gleichge-
wicht halten; es ist nun noch übrig, das Gesetz zu bestimmen, nach welchem mehre-
re solche prismatische Körper (Balken oder Steine) in schiefer Richtung auf einander
gestellt werden können, wenn sie sich das Gleichgewicht halten sollen.

Fig.
1.
Tab.
18.

Ist nämlich der Stellungswinkel des ersten Prisma zum Horizonte, c b a = α, dessen Ge-
wicht = A, so wirkt nach §. 351 sowohl in c als auch in b der Druck [Formel 1] senkrecht her-
ab. Da dieser senkrechte Druck in c nach seiner Richtung c a keine Unterstützung
findet, so trage man denselben = c d auf; er zerlegt sich nun in einen horizontalen
c f = H und in einen schiefen c e nach der Richtung des Prisma, und es verhält sich
[Formel 2] , folglich ist tang [Formel 3] (I).

Der horizontale Druck c f = H drückt in c an irgend einen Körper, an welchen
das Prisma gelehnt ist, und dieser muss mit seiner Stabilität diesem Drucke widerste-
hen; der schiefe Druck c e hingegen wirkt in der Richtung des Prisma c b fortlau-
fend. Trägt man daher auf die Verlängerung des Prisma den schiefen Druck von
b nach g auf und zerlegt selben in einen horizontalen und senkrechten, so ist nach
Ergänzung des Parallelogramms, da das Dreieck b g h mit dem Dreiecke c d f congruent ist,
b h = c f = H und g h = c d = ½ A d. h. am Endpunkte des ersten Prisma fin-
det derselbe horizontale Druck statt, wie oben. Da aber bereits
bemerkt wurde, dass in b noch das Gewicht der zweiten Hälfte ½ A des ersten
Prisma wirke, so ist der gesammte senkrechte Druck in b = A. Soll nun dieses er-
ste Prisma durch ein zweites, dessen Gewicht B ist, gehörig unterstützt werden, so
findet im Punkte b, da noch die Hälfte des Gewichtes des zweiten Prisma ½ B senk-
recht herabwirkt, der senkrechte Druck A + ½ B und der horizontale Druck H statt.
Wird nun dieses zweite Prisma so gestellt, dass es den ganzen Druck des obern und
zugleich die Hälfte seines eigenen Gewichtes am obern Ende gehörig aufnimmt, und
trägt man den Druck A + ½ B = b i senkrecht unter b dann den Druck H = b h
auf, so wird nach Ergänzung des Parallelogramms die Diagonale b l die Stellung des
zweiten Prisma angeben, und es verhält sich H : A + ½ B = 1 : tang β, folglich ist
tang [Formel 4] (II).

Der mittlere Druck wirkt ebenfalls in der Verlängerung des zweiten Prisma und
behält am Ende desselben die gleiche Grösse. Trägt man sich daher diesen Druck b l
am untern Ende = m n auf, und zerlegt ihn wie oben in einen horizontalen und
senkrechten, so findet hier ebenfalls, der Congruenz der Dreiecke zu Folge, in m
derselbe horizontale und senkrechte Druck statt, welcher in b statt fand. Da aber in
m noch die zweite Hälfte des Gewichtes vom zweiten Prisma oder ½ B und das halbe
Gewicht des dritten Prisma ½ C senkrecht herab wirkt, so ist der gesammte senkrechte
Druck in m = A + B + ½ C und der horizontale = H. Ergänzt man das Paral-
lelogramm und zieht die Diagonale m o, so erhält man die Grösse des mittlern Dru-

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[402/0432] Gesetz für schiefe Zusammenstellungen mehrerer Körper. §. 366. In den vorigen Paragraphen wurden die Bedingnisse angegeben, unter welchen zwei schwere schiefgestellte Balken sich stützen, und unter einander das Gleichge- wicht halten; es ist nun noch übrig, das Gesetz zu bestimmen, nach welchem mehre- re solche prismatische Körper (Balken oder Steine) in schiefer Richtung auf einander gestellt werden können, wenn sie sich das Gleichgewicht halten sollen. Ist nämlich der Stellungswinkel des ersten Prisma zum Horizonte, c b a = α, dessen Ge- wicht = A, so wirkt nach §. 351 sowohl in c als auch in b der Druck [FORMEL] senkrecht her- ab. Da dieser senkrechte Druck in c nach seiner Richtung c a keine Unterstützung findet, so trage man denselben = c d auf; er zerlegt sich nun in einen horizontalen c f = H und in einen schiefen c e nach der Richtung des Prisma, und es verhält sich [FORMEL], folglich ist tang [FORMEL] (I). Der horizontale Druck c f = H drückt in c an irgend einen Körper, an welchen das Prisma gelehnt ist, und dieser muss mit seiner Stabilität diesem Drucke widerste- hen; der schiefe Druck c e hingegen wirkt in der Richtung des Prisma c b fortlau- fend. Trägt man daher auf die Verlängerung des Prisma den schiefen Druck von b nach g auf und zerlegt selben in einen horizontalen und senkrechten, so ist nach Ergänzung des Parallelogramms, da das Dreieck b g h mit dem Dreiecke c d f congruent ist, b h = c f = H und g h = c d = ½ A d. h. am Endpunkte des ersten Prisma fin- det derselbe horizontale Druck statt, wie oben. Da aber bereits bemerkt wurde, dass in b noch das Gewicht der zweiten Hälfte ½ A des ersten Prisma wirke, so ist der gesammte senkrechte Druck in b = A. Soll nun dieses er- ste Prisma durch ein zweites, dessen Gewicht B ist, gehörig unterstützt werden, so findet im Punkte b, da noch die Hälfte des Gewichtes des zweiten Prisma ½ B senk- recht herabwirkt, der senkrechte Druck A + ½ B und der horizontale Druck H statt. Wird nun dieses zweite Prisma so gestellt, dass es den ganzen Druck des obern und zugleich die Hälfte seines eigenen Gewichtes am obern Ende gehörig aufnimmt, und trägt man den Druck A + ½ B = b i senkrecht unter b dann den Druck H = b h auf, so wird nach Ergänzung des Parallelogramms die Diagonale b l die Stellung des zweiten Prisma angeben, und es verhält sich H : A + ½ B = 1 : tang β, folglich ist tang [FORMEL] (II). Der mittlere Druck wirkt ebenfalls in der Verlängerung des zweiten Prisma und behält am Ende desselben die gleiche Grösse. Trägt man sich daher diesen Druck b l am untern Ende = m n auf, und zerlegt ihn wie oben in einen horizontalen und senkrechten, so findet hier ebenfalls, der Congruenz der Dreiecke zu Folge, in m derselbe horizontale und senkrechte Druck statt, welcher in b statt fand. Da aber in m noch die zweite Hälfte des Gewichtes vom zweiten Prisma oder ½ B und das halbe Gewicht des dritten Prisma ½ C senkrecht herab wirkt, so ist der gesammte senkrechte Druck in m = A + B + ½ C und der horizontale = H. Ergänzt man das Paral- lelogramm und zieht die Diagonale m o, so erhält man die Grösse des mittlern Dru-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 402. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/432>, abgerufen am 21.11.2024.