Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Elyptische Brückengewölbe. §. 380. So sehr diese Vollkommenheit allen Arten von Gewölben zu wünschen ist, so Es ist nunmehr von Wichtigkeit, die Stützlinie eines solchen Gewölbes sowohl *) Um die Stützlinie für ein elyptisches Brückengewölbe zu finden, sey die halbeFig. 6. Tab. 19. Spannweite C D = a, die Höhe in der Mitte B C = b, A W sey die Fahrbahn; die Linie, welche zur vollkommenen Unterstützung des Raumes zwischen der Fahrbahn A W und dem elyptischen Brückenbogen D M B dienen soll, sey die krumme Linie i N U, für welche die Gleichung zu be- stimmen ist. Die Höhe der Fahrbahn oberhalb des Scheitels des Gewölbes sey A B = h, der Winkel R C F = v, folglich R G = Q A = M P = a . Sin v, R L = a . Cos v und M L = b . Cos v. Für die Stützlinie ist A Q = a . Sin v und Q N = z, folglich N o = d z. Setzen wir nun den Stützwinkel N n o = l, so ist wegen n o = m O = d . M P = a . d v . Cos v, die tang [Formel 1] Zur Bestimmung der Fläche Q A B M, welche zwischen der Fahrbahn A Q und dem elypti- schen Bogen B M enthalten ist, bemerken wir vorläufig, dass die Kreisfläche R F C L = dem Sek- tor R C F + dem Dreiecke [Formel 2] ist. Weil sich nun alle Ordinaten der Elypse M B C L zu den Ordinaten der Kreisfläche R F C L wie b : a verhalten, so ist die elypti- sche Fläche [Formel 3] , und die Fläche Q A B M ist offenbar [Formel 4] Die analoge Fläche für den horizontalen Druck sey = H, so gibt uns die allgemeine Eigen- schaft, vermög welcher die Taugenten der Stützwinkel den zu unterstützenden Flächen proportional seyn müssen, für jeden Punkt N der Stützlinie die Proportion n o : N o = H : Q A B M oder a . d v . Cos v : d z = H : a . Sin v [Formel 5] , daher [Formel 6] Das Integral dieser Gleichung ist offenbar [Formel 7] Da die Gewölbsteine auf der Stützlinie winkelrecht stehen, folglich ihre Fugen der Richtung des Krümmungshalbmessers folgen müssen, so haben wir nun noch den Krümmungshalbmesser für un- sere Stützlinie, den wir R nennen wollen, zu bestimmen. Hiezu dient die allgemeine Gleichung [Formel 8] Nun ist 54 *
Elyptische Brückengewölbe. §. 380. So sehr diese Vollkommenheit allen Arten von Gewölben zu wünschen ist, so Es ist nunmehr von Wichtigkeit, die Stützlinie eines solchen Gewölbes sowohl *) Um die Stützlinie für ein elyptisches Brückengewölbe zu finden, sey die halbeFig. 6. Tab. 19. Spannweite C D = a, die Höhe in der Mitte B C = b, A W sey die Fahrbahn; die Linie, welche zur vollkommenen Unterstützung des Raumes zwischen der Fahrbahn A W und dem elyptischen Brückenbogen D M B dienen soll, sey die krumme Linie i N U, für welche die Gleichung zu be- stimmen ist. Die Höhe der Fahrbahn oberhalb des Scheitels des Gewölbes sey A B = h, der Winkel R C F = v, folglich R G = Q A = M P = a . Sin v, R L = a . Cos v und M L = b . Cos v. Für die Stützlinie ist A Q = a . Sin v und Q N = z, folglich N o = d z. Setzen wir nun den Stützwinkel N n o = λ, so ist wegen n o = m O = d . M P = a . d v . Cos v, die tang [Formel 1] Zur Bestimmung der Fläche Q A B M, welche zwischen der Fahrbahn A Q und dem elypti- schen Bogen B M enthalten ist, bemerken wir vorläufig, dass die Kreisfläche R F C L = dem Sek- tor R C F + dem Dreiecke [Formel 2] ist. Weil sich nun alle Ordinaten der Elypse M B C L zu den Ordinaten der Kreisfläche R F C L wie b : a verhalten, so ist die elypti- sche Fläche [Formel 3] , und die Fläche Q A B M ist offenbar [Formel 4] Die analoge Fläche für den horizontalen Druck sey = H, so gibt uns die allgemeine Eigen- schaft, vermög welcher die Taugenten der Stützwinkel den zu unterstützenden Flächen proportional seyn müssen, für jeden Punkt N der Stützlinie die Proportion n o : N o = H : Q A B M oder a . d v . Cos v : d z = H : a . Sin v [Formel 5] , daher [Formel 6] Das Integral dieser Gleichung ist offenbar [Formel 7] Da die Gewölbsteine auf der Stützlinie winkelrecht stehen, folglich ihre Fugen der Richtung des Krümmungshalbmessers folgen müssen, so haben wir nun noch den Krümmungshalbmesser für un- sere Stützlinie, den wir R nennen wollen, zu bestimmen. Hiezu dient die allgemeine Gleichung [Formel 8] Nun ist 54 *
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Elyptische Brückengewölbe.
§. 380.
So sehr diese Vollkommenheit allen Arten von Gewölben zu wünschen ist, so
dürfte doch die Schwierigkeit der genauen Verzeichnung der dazu nöthigen Lehrbögen
ihrer allgemeinen Einführung ein sehr grosses Hinderniss entgegenstellen, und man wird
daher auch künftig, wie bisher, solche Gewölbungen nach dem Kreise oder
nach der elyptischen Form um so mehr ausführen, als sich der Kunstge-
schmack, wie wir bereits früher bemerkten, für diese Formen ausgesprochen, und die
Erfahrung auch gezeigt hat, dass solche Gewölbe sich zu erhalten fähig sind.
Es ist nunmehr von Wichtigkeit, die Stützlinie eines solchen Gewölbes sowohl
ihrer Richtung, als ihrer Zahl nach zu kennen, um durch angemessene Widerlagen
für ihren festen Stand sorgen zu können. Die Berechnung der Stützlinie für ein
elyptisches Gewölbe ist in der unten angeführten Note *) ausführlich behandelt.
*) Um die Stützlinie für ein elyptisches Brückengewölbe zu finden, sey die halbe
Spannweite C D = a, die Höhe in der Mitte B C = b, A W sey die Fahrbahn; die Linie, welche
zur vollkommenen Unterstützung des Raumes zwischen der Fahrbahn A W und dem elyptischen
Brückenbogen D M B dienen soll, sey die krumme Linie i N U, für welche die Gleichung zu be-
stimmen ist.
Die Höhe der Fahrbahn oberhalb des Scheitels des Gewölbes sey A B = h, der Winkel R C F = v,
folglich R G = Q A = M P = a . Sin v, R L = a . Cos v und M L = b . Cos v.
Für die Stützlinie ist A Q = a . Sin v und Q N = z, folglich N o = d z. Setzen wir nun
den Stützwinkel N n o = λ, so ist wegen n o = m O = d . M P = a . d v . Cos v, die
tang [FORMEL]
Zur Bestimmung der Fläche Q A B M, welche zwischen der Fahrbahn A Q und dem elypti-
schen Bogen B M enthalten ist, bemerken wir vorläufig, dass die Kreisfläche R F C L = dem Sek-
tor R C F + dem Dreiecke [FORMEL] ist. Weil sich nun alle Ordinaten
der Elypse M B C L zu den Ordinaten der Kreisfläche R F C L wie b : a verhalten, so ist die elypti-
sche Fläche [FORMEL], und die Fläche Q A B M ist offenbar
[FORMEL] Die analoge Fläche für den horizontalen Druck sey = H, so gibt uns die allgemeine Eigen-
schaft, vermög welcher die Taugenten der Stützwinkel den zu unterstützenden Flächen proportional
seyn müssen, für jeden Punkt N der Stützlinie die Proportion n o : N o = H : Q A B M oder
a . d v . Cos v : d z = H : a . Sin v [FORMEL], daher
[FORMEL] Das Integral dieser Gleichung ist offenbar
[FORMEL] Da die Gewölbsteine auf der Stützlinie winkelrecht stehen, folglich ihre Fugen der Richtung des
Krümmungshalbmessers folgen müssen, so haben wir nun noch den Krümmungshalbmesser für un-
sere Stützlinie, den wir R nennen wollen, zu bestimmen. Hiezu dient die allgemeine Gleichung
[FORMEL] Nun ist
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