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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Theorie der Kettenbrücken.
tes a mithin a o die Last 1/2 P vorstellt; hiernach erhalten wir die ProportionFig.
9.
Tab.
20.
1/2 P : H = a o : o m. Errichten wir aus den Mitten q und q' der untersten Kettenglieder
a b und a b' die winkelrechten C q und C q', so gibt ihr Durchschnittspunkt C den
Mittelpunkt des Kreises an, der mit dem Halbmesser C a = r durch die Punkte b, a und b'
gezogen werden kann. Es ist aber das Dreieck a o m dem Dreiecke a C q ähnlich,
weil C q winkelrecht auf a m und C a winkelrecht auf o m, folglich nebst dem rech-
ten Winkel noch der Winkel a m o dem Winkel a C q gleich ist. Daraus folgt die Propor-
tion a o : om = a q : Cq; dieses in die obige Proportion gesetzt, gibt 1/2 P : H = a q : C q.
Offenbar findet nun auch von der andern Seite die Proportion 1/2 P : H = a q' : C q' statt,
und weil C q = C q' ist, so folgt aus der Addition der beiden letzten Proportionen auch
P : 2 H = a q + a q' : 2 C q, woraus [Formel 1] . Betrachtet man hier die
Kettenglieder unendlich klein, so ist C q = C q' = C a = r dem Krümmungshalbmesser im
tiefsten Punkte a, und wenn man noch die Länge des Bogens daselbst q a q' = 1 Fuss setzt,
und daher unter P das gesammte Gewicht eines Kurrentfausses in der Mitte der Brücke ver-
steht, so erhält man für die horizontale Spannung die einfache Gleichung H = P. r.

Die Auffindung der krummen Linie, welche die Kette durch ihr eigenes Ge-
wicht und durch die Last der angehängten Brückenbahn und der zufälligen Belastung
im Zustande des Gleichgewichtes annimmt, lässt sich nur durch die höhere Analysis
bewerkstelligen. *)

*) Es sey für einen willkührlichen Punkt M der Kettenkurve, A B = x die Abscisse und B M = y die Or-Fig.
10.
Tab.
20.
dinate, ferner der Bogen A M = s; folglich B b = d x = M o, m o = d y und M m = d s, für das Ketten-
element M m der Stellungswinkel b m M = v. Es wird zunächst darauf ankommen, das Gewicht zu
bestimmen, welches an dem Punkte M hängt. Dieses besteht aus dem Gewichte der Kette von A bis M
und aus dem Gewichte der Brückenbahn sammt der zufälligen Belastung von C bis D.
Zur Bestimmung des Gewichtes der Kette sey in dem Punkte A die Querschnittsfläche der Kette = f,
welche der hier wirkenden Spannung der Kette H entspricht. In dem Punkte M erleidet die Kette
eine grössere Spannung und es sey die ihr entsprechende Querschnittsfläche an diesem Orte f'. Im
Punkte M wirkt aber die horizontale Kraft II und die senkrechte H. tang v, welche zusammengesetzt,
die mittlere = sqrt (H2 + H2. tang2 v) = [Formel 2] geben. Sollen nun die Querschnittsflächen der mitt-
lern Spannkraft der Kette proportional seyn, so haben wir hiefür die Proportion f : f' = [Formel 3] ,
woraus [Formel 4] folgt. Der kubische Inhalt des Kettenelementes M m ist daher [Formel 5] und wenn
g das Gewicht der kub. Einheit der Materie bezeichnet, das Gewicht desselben [Formel 6] ; mithin das
Gewicht des Bogens A M = [Formel 7] .
Ist auf gleiche Art F die Querschnittsfläche der belasteten Brückenbahn und G das Gewicht ihrer kubi-
schen Einheit, so ist, weil das Gewicht derselben der Länge C D = B M = y proportional ist, das
Gewicht der belasteten Brückenbahn = G. F . y. Es ist daher das von M getragene Gewicht
= G. F. y + [Formel 8] . Die horizontale Spannung ist der oben angeführten Gleichung zu Folge
H = (F. G + f. g) r. Nach dem oben aufgestellten allgemeinen Gesetze erhalten wir daher für den
Stellungswinkel die Gleichung tang v = [Formel 9] . Wird diese Gleichung differenzirt
und [Formel 10] statt d s gesetzt, so ist H. d tang v = G. F. d y + [Formel 11] . Weil aber [Formel 12] = 1 + tang2 v
60 *

Theorie der Kettenbrücken.
tes a mithin a o die Last ½ P vorstellt; hiernach erhalten wir die ProportionFig.
9.
Tab.
20.
½ P : H = a o : o m. Errichten wir aus den Mitten q und q' der untersten Kettenglieder
a b und a b' die winkelrechten C q und C q', so gibt ihr Durchschnittspunkt C den
Mittelpunkt des Kreises an, der mit dem Halbmesser C a = r durch die Punkte b, a und b'
gezogen werden kann. Es ist aber das Dreieck a o m dem Dreiecke a C q ähnlich,
weil C q winkelrecht auf a m und C a winkelrecht auf o m, folglich nebst dem rech-
ten Winkel noch der Winkel a m o dem Winkel a C q gleich ist. Daraus folgt die Propor-
tion a o : om = a q : Cq; dieses in die obige Proportion gesetzt, gibt ½ P : H = a q : C q.
Offenbar findet nun auch von der andern Seite die Proportion ½ P : H = a q' : C q' statt,
und weil C q = C q' ist, so folgt aus der Addition der beiden letzten Proportionen auch
P : 2 H = a q + a q' : 2 C q, woraus [Formel 1] . Betrachtet man hier die
Kettenglieder unendlich klein, so ist C q = C q' = C a = r dem Krümmungshalbmesser im
tiefsten Punkte a, und wenn man noch die Länge des Bogens daselbst q a q' = 1 Fuss setzt,
und daher unter P das gesammte Gewicht eines Kurrentfausses in der Mitte der Brücke ver-
steht, so erhält man für die horizontale Spannung die einfache Gleichung H = P. r.

Die Auffindung der krummen Linie, welche die Kette durch ihr eigenes Ge-
wicht und durch die Last der angehängten Brückenbahn und der zufälligen Belastung
im Zustande des Gleichgewichtes annimmt, lässt sich nur durch die höhere Analysis
bewerkstelligen. *)

*) Es sey für einen willkührlichen Punkt M der Kettenkurve, A B = x die Abscisse und B M = y die Or-Fig.
10.
Tab.
20.
dinate, ferner der Bogen A M = s; folglich B b = d x = M o, m o = d y und M m = d s, für das Ketten-
element M m der Stellungswinkel b m M = v. Es wird zunächst darauf ankommen, das Gewicht zu
bestimmen, welches an dem Punkte M hängt. Dieses besteht aus dem Gewichte der Kette von A bis M
und aus dem Gewichte der Brückenbahn sammt der zufälligen Belastung von C bis D.
Zur Bestimmung des Gewichtes der Kette sey in dem Punkte A die Querschnittsfläche der Kette = f,
welche der hier wirkenden Spannung der Kette H entspricht. In dem Punkte M erleidet die Kette
eine grössere Spannung und es sey die ihr entsprechende Querschnittsfläche an diesem Orte f'. Im
Punkte M wirkt aber die horizontale Kraft II und die senkrechte H. tang v, welche zusammengesetzt,
die mittlere = √ (H2 + H2. tang2 v) = [Formel 2] geben. Sollen nun die Querschnittsflächen der mitt-
lern Spannkraft der Kette proportional seyn, so haben wir hiefür die Proportion f : f' = [Formel 3] ,
woraus [Formel 4] folgt. Der kubische Inhalt des Kettenelementes M m ist daher [Formel 5] und wenn
g das Gewicht der kub. Einheit der Materie bezeichnet, das Gewicht desselben [Formel 6] ; mithin das
Gewicht des Bogens A M = [Formel 7] .
Ist auf gleiche Art F die Querschnittsfläche der belasteten Brückenbahn und G das Gewicht ihrer kubi-
schen Einheit, so ist, weil das Gewicht derselben der Länge C D = B M = y proportional ist, das
Gewicht der belasteten Brückenbahn = G. F . y. Es ist daher das von M getragene Gewicht
= G. F. y + [Formel 8] . Die horizontale Spannung ist der oben angeführten Gleichung zu Folge
H = (F. G + f. g) r. Nach dem oben aufgestellten allgemeinen Gesetze erhalten wir daher für den
Stellungswinkel die Gleichung tang v = [Formel 9] . Wird diese Gleichung differenzirt
und [Formel 10] statt d s gesetzt, so ist H. d tang v = G. F. d y + [Formel 11] . Weil aber [Formel 12] = 1 + tang2 v
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[475/0505] Theorie der Kettenbrücken. tes a mithin a o die Last ½ P vorstellt; hiernach erhalten wir die Proportion ½ P : H = a o : o m. Errichten wir aus den Mitten q und q' der untersten Kettenglieder a b und a b' die winkelrechten C q und C q', so gibt ihr Durchschnittspunkt C den Mittelpunkt des Kreises an, der mit dem Halbmesser C a = r durch die Punkte b, a und b' gezogen werden kann. Es ist aber das Dreieck a o m dem Dreiecke a C q ähnlich, weil C q winkelrecht auf a m und C a winkelrecht auf o m, folglich nebst dem rech- ten Winkel noch der Winkel a m o dem Winkel a C q gleich ist. Daraus folgt die Propor- tion a o : om = a q : Cq; dieses in die obige Proportion gesetzt, gibt ½ P : H = a q : C q. Offenbar findet nun auch von der andern Seite die Proportion ½ P : H = a q' : C q' statt, und weil C q = C q' ist, so folgt aus der Addition der beiden letzten Proportionen auch P : 2 H = a q + a q' : 2 C q, woraus [FORMEL]. Betrachtet man hier die Kettenglieder unendlich klein, so ist C q = C q' = C a = r dem Krümmungshalbmesser im tiefsten Punkte a, und wenn man noch die Länge des Bogens daselbst q a q' = 1 Fuss setzt, und daher unter P das gesammte Gewicht eines Kurrentfausses in der Mitte der Brücke ver- steht, so erhält man für die horizontale Spannung die einfache Gleichung H = P. r. Fig. 9. Tab. 20. Die Auffindung der krummen Linie, welche die Kette durch ihr eigenes Ge- wicht und durch die Last der angehängten Brückenbahn und der zufälligen Belastung im Zustande des Gleichgewichtes annimmt, lässt sich nur durch die höhere Analysis bewerkstelligen. *) *) Es sey für einen willkührlichen Punkt M der Kettenkurve, A B = x die Abscisse und B M = y die Or- dinate, ferner der Bogen A M = s; folglich B b = d x = M o, m o = d y und M m = d s, für das Ketten- element M m der Stellungswinkel b m M = v. Es wird zunächst darauf ankommen, das Gewicht zu bestimmen, welches an dem Punkte M hängt. Dieses besteht aus dem Gewichte der Kette von A bis M und aus dem Gewichte der Brückenbahn sammt der zufälligen Belastung von C bis D. Zur Bestimmung des Gewichtes der Kette sey in dem Punkte A die Querschnittsfläche der Kette = f, welche der hier wirkenden Spannung der Kette H entspricht. In dem Punkte M erleidet die Kette eine grössere Spannung und es sey die ihr entsprechende Querschnittsfläche an diesem Orte f'. Im Punkte M wirkt aber die horizontale Kraft II und die senkrechte H. tang v, welche zusammengesetzt, die mittlere = √ (H2 + H2. tang2 v) = [FORMEL] geben. Sollen nun die Querschnittsflächen der mitt- lern Spannkraft der Kette proportional seyn, so haben wir hiefür die Proportion f : f' = [FORMEL], woraus [FORMEL] folgt. Der kubische Inhalt des Kettenelementes M m ist daher [FORMEL] und wenn g das Gewicht der kub. Einheit der Materie bezeichnet, das Gewicht desselben [FORMEL]; mithin das Gewicht des Bogens A M = [FORMEL]. Ist auf gleiche Art F die Querschnittsfläche der belasteten Brückenbahn und G das Gewicht ihrer kubi- schen Einheit, so ist, weil das Gewicht derselben der Länge C D = B M = y proportional ist, das Gewicht der belasteten Brückenbahn = G. F . y. Es ist daher das von M getragene Gewicht = G. F. y + [FORMEL]. Die horizontale Spannung ist der oben angeführten Gleichung zu Folge H = (F. G + f. g) r. Nach dem oben aufgestellten allgemeinen Gesetze erhalten wir daher für den Stellungswinkel die Gleichung tang v = [FORMEL]. Wird diese Gleichung differenzirt und [FORMEL] statt d s gesetzt, so ist H. d tang v = G. F. d y + [FORMEL]. Weil aber [FORMEL] = 1 + tang2 v 60 *

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 475. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/505>, abgerufen am 23.11.2024.