Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Reibung der Seile um Cylinder. berechnen: Es sey a e ein kleines Stück der Peripherie, um welche das Seil geschlun-Fig.21. Tab. 27. gen ist; die Last Q hänge in a senkrecht herab, und die Kraft P wirke in der Rich- tung der Tangente zu e. Verlängern wir die Richtung der Kraft und Last, und set- zen b a = Q, so ist b e = P und diese zwei Kräfte, welche bei b einen Winkel mit- sammen bilden, lassen sich mittelst des Parallelogrammes a b e d in die mittlere Kraft b d vereinigen, die den gesammten Druck auf den Cylinder vorstellt. Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke b o a und o c a haben wir b o : b a = o a : a c Nehmen wir nun einen zweiten Bogen e f von gleicher Länge wie a e an, so ist *) Genauer wird obige Rechnung auf folgende Art gemacht: Es sey der Bogen m a = s und a e = d s,Fig.
22. der Winkel m c a = ph und a c e = d ph; die Kraft, welche zur Bewegung des Seiles in a erfordert wird, sey P und jene in e sey P'. Aus der im Texte angeführten Zerlegung der Kräfte folgt [Formel 8] , weil aber [Formel 9] , so ist auch P' = P (1 + m . d ph). Der Unter- schied der Kraft, welche in den Punkten a und e erfordert wird, ist daher P' -- P = P . m . d ph und diess muss = d P seyn. Diess gibt [Formel 10] Das Integrale hievon ist nat. log. P = m . ph + Const. Ist ph = 0, so ist P = Q, also nat. log. Q = 0 + Const, und daher nat. log. P -- nat. log. Q = m . ph oder nat. log. [Formel 11] = m . ph . nat. log. e, hieraus folgt e [Formel 12] und P = Q . e m . ph. Ist nun ph = 0, so ist P = Q. Für den Viertel Kreis ist [Formel 13] , also [Formel 14] ; für den halben Kreis ist ph = p, also [Formel 15] ; für drei Viertheile des Kreises ist ph = 1,5 p also [Formel 16] u. s. w. Setzt man p = 3,14159, so erhalten wir für das im Texte aufgelösste Beispiel jedesmal die erforderliche Kraft, wenn Diese Werthe stimmen mit den obigen nahe überein.das Seil 1 Peripherie umschlingt = Q . 2,193, wenn das Seil 3 Peripherien umschlingt = Q . 10,551, " " 2 " " = Q . 4,810, " " 4 " " = Q . 23,141. Reibung der Seile um Cylinder. berechnen: Es sey a e ein kleines Stück der Peripherie, um welche das Seil geschlun-Fig.21. Tab. 27. gen ist; die Last Q hänge in a senkrecht herab, und die Kraft P wirke in der Rich- tung der Tangente zu e. Verlängern wir die Richtung der Kraft und Last, und set- zen b a = Q, so ist b e = P und diese zwei Kräfte, welche bei b einen Winkel mit- sammen bilden, lassen sich mittelst des Parallelogrammes a b e d in die mittlere Kraft b d vereinigen, die den gesammten Druck auf den Cylinder vorstellt. Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke b o a und o c a haben wir b o : b a = o a : a c Nehmen wir nun einen zweiten Bogen e f von gleicher Länge wie a e an, so ist *) Genauer wird obige Rechnung auf folgende Art gemacht: Es sey der Bogen m a = s und a e = d s,Fig.
22. der Winkel m c a = φ und a c e = d φ; die Kraft, welche zur Bewegung des Seiles in a erfordert wird, sey P und jene in e sey P'. Aus der im Texte angeführten Zerlegung der Kräfte folgt [Formel 8] , weil aber [Formel 9] , so ist auch P' = P (1 + m . d φ). Der Unter- schied der Kraft, welche in den Punkten a und e erfordert wird, ist daher P' — P = P . m . d φ und diess muss = d P seyn. Diess gibt [Formel 10] Das Integrale hievon ist nat. log. P = m . φ + Const. Ist φ = 0, so ist P = Q, also nat. log. Q = 0 + Const, und daher nat. log. P — nat. log. Q = m . φ oder nat. log. [Formel 11] = m . φ . nat. log. e, hieraus folgt e [Formel 12] und P = Q . e m . φ. Ist nun φ = 0, so ist P = Q. Für den Viertel Kreis ist [Formel 13] , also [Formel 14] ; für den halben Kreis ist φ = π, also [Formel 15] ; für drei Viertheile des Kreises ist φ = 1,5 π also [Formel 16] u. s. w. Setzt man π = 3,14159, so erhalten wir für das im Texte aufgelösste Beispiel jedesmal die erforderliche Kraft, wenn Diese Werthe stimmen mit den obigen nahe überein.das Seil 1 Peripherie umschlingt = Q . 2,193, wenn das Seil 3 Peripherien umschlingt = Q . 10,551, „ „ 2 „ „ = Q . 4,810, „ „ 4 „ „ = Q . 23,141. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0549" n="517"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Reibung der Seile um Cylinder</hi>.</fw><lb/> berechnen: Es sey a e ein kleines Stück der Peripherie, um welche das Seil geschlun-<note place="right">Fig.<lb/> 21.<lb/> Tab.<lb/> 27.</note><lb/> gen ist; die Last Q hänge in a senkrecht herab, und die Kraft P wirke in der Rich-<lb/> tung der Tangente zu e. Verlängern wir die Richtung der Kraft und Last, und set-<lb/> zen b a = Q, so ist b e = P und diese zwei Kräfte, welche bei b einen Winkel mit-<lb/> sammen bilden, lassen sich mittelst des Parallelogrammes a b e d in die mittlere Kraft<lb/> b d vereinigen, die den gesammten Druck auf den Cylinder vorstellt.</p><lb/> <p>Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke b o a und o c a haben wir b o : b a = o a : a c<lb/> und <formula/>, also ist der ganze Druck auf die Peripherie des Cy-<lb/> linders <formula/>. Liegen die Punkte a und e nahe an einander, so<lb/> fällt die Sehne a o e mit dem Bogen a n e zusammen, und es ist daher der Druck auf die<lb/> Peripherie des Cylinders <formula/>, wenn wir den Bogen, an welchem das Seil anliegt,<lb/> mit s bezeichnen. Die Kraft in e, welche ohne Reibung = Q gewesen wäre, wird<lb/> demnach wegen der Reibung ebendaselbst, <formula/> seyn.</p><lb/> <p>Nehmen wir nun einen zweiten Bogen e f von gleicher Länge wie a e an, so ist<lb/> P für den Punkt e als Last zu betrachten, und wir haben die erforderliche Kraft in<lb/> der Richtung der Tangente zu f, nämlich <formula/>, und wenn substituirt<lb/> wird, <formula/>. Für einen dritten Bogen von gleicher Länge erhalten<lb/> wir die am Ende desselben erforderliche Kraft <formula/> u. s. w. Hier-<lb/> aus ersehen wir bereits das Gesetz, nach welchem die zur Bewegung des Seiles er-<lb/> forderliche Kraft zunimmt <note place="foot" n="*)">Genauer wird obige Rechnung auf folgende Art gemacht: Es sey der Bogen m a = s und a e = d s,<note place="right">Fig.<lb/> 22.</note><lb/> der Winkel m c a = φ und a c e = d φ; die Kraft, welche zur Bewegung des Seiles in a erfordert<lb/> wird, sey P und jene in e sey P'. Aus der im Texte angeführten Zerlegung der Kräfte folgt<lb/><formula/>, weil aber <formula/>, so ist auch P' = P (1 + m . d φ). Der Unter-<lb/> schied der Kraft, welche in den Punkten a und e erfordert wird, ist daher P' — P = P . m . d φ<lb/> und diess muss = d P seyn. Diess gibt <formula/><lb/> Das Integrale hievon ist nat. log. P = m . φ + Const. Ist φ = 0, so ist P = Q, also<lb/> nat. log. Q = 0 + Const, und daher nat. log. P — nat. log. Q = m . φ oder<lb/> nat. log. <formula/> = m . φ . nat. log. e, hieraus folgt e <formula/> und P = Q . e <hi rendition="#sup">m . φ.</hi><lb/> Ist nun φ = 0, so ist P = Q. Für den Viertel Kreis ist <formula/>, also <formula/>; für<lb/> den halben Kreis ist φ = π, also <formula/>; für drei Viertheile des Kreises ist φ = 1,<hi rendition="#sub">5</hi> π<lb/> also <formula/> u. s. w. Setzt man π = 3,<hi rendition="#sub">14159</hi>, so erhalten wir für das im Texte aufgelösste<lb/><list><item><hi rendition="#g">Beispiel</hi> jedesmal die erforderliche Kraft, wenn<lb/> das Seil 1 Peripherie umschlingt = Q . 2,<hi rendition="#sub">193</hi>, wenn das Seil 3 Peripherien umschlingt = Q . 10,<hi rendition="#sub">551</hi>,<lb/> „ „ 2 „ „ = Q . 4,<hi rendition="#sub">810</hi>, „ „ 4 „ „ = Q . 23,<hi rendition="#sub">141</hi>.</item></list><lb/> Diese Werthe stimmen mit den obigen nahe überein.</note>.</p><lb/> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [517/0549]
Reibung der Seile um Cylinder.
berechnen: Es sey a e ein kleines Stück der Peripherie, um welche das Seil geschlun-
gen ist; die Last Q hänge in a senkrecht herab, und die Kraft P wirke in der Rich-
tung der Tangente zu e. Verlängern wir die Richtung der Kraft und Last, und set-
zen b a = Q, so ist b e = P und diese zwei Kräfte, welche bei b einen Winkel mit-
sammen bilden, lassen sich mittelst des Parallelogrammes a b e d in die mittlere Kraft
b d vereinigen, die den gesammten Druck auf den Cylinder vorstellt.
Fig.
21.
Tab.
27.
Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke b o a und o c a haben wir b o : b a = o a : a c
und [FORMEL], also ist der ganze Druck auf die Peripherie des Cy-
linders [FORMEL]. Liegen die Punkte a und e nahe an einander, so
fällt die Sehne a o e mit dem Bogen a n e zusammen, und es ist daher der Druck auf die
Peripherie des Cylinders [FORMEL], wenn wir den Bogen, an welchem das Seil anliegt,
mit s bezeichnen. Die Kraft in e, welche ohne Reibung = Q gewesen wäre, wird
demnach wegen der Reibung ebendaselbst, [FORMEL] seyn.
Nehmen wir nun einen zweiten Bogen e f von gleicher Länge wie a e an, so ist
P für den Punkt e als Last zu betrachten, und wir haben die erforderliche Kraft in
der Richtung der Tangente zu f, nämlich [FORMEL], und wenn substituirt
wird, [FORMEL]. Für einen dritten Bogen von gleicher Länge erhalten
wir die am Ende desselben erforderliche Kraft [FORMEL] u. s. w. Hier-
aus ersehen wir bereits das Gesetz, nach welchem die zur Bewegung des Seiles er-
forderliche Kraft zunimmt *).
*) Genauer wird obige Rechnung auf folgende Art gemacht: Es sey der Bogen m a = s und a e = d s,
der Winkel m c a = φ und a c e = d φ; die Kraft, welche zur Bewegung des Seiles in a erfordert
wird, sey P und jene in e sey P'. Aus der im Texte angeführten Zerlegung der Kräfte folgt
[FORMEL], weil aber [FORMEL], so ist auch P' = P (1 + m . d φ). Der Unter-
schied der Kraft, welche in den Punkten a und e erfordert wird, ist daher P' — P = P . m . d φ
und diess muss = d P seyn. Diess gibt [FORMEL]
Das Integrale hievon ist nat. log. P = m . φ + Const. Ist φ = 0, so ist P = Q, also
nat. log. Q = 0 + Const, und daher nat. log. P — nat. log. Q = m . φ oder
nat. log. [FORMEL] = m . φ . nat. log. e, hieraus folgt e [FORMEL] und P = Q . e m . φ.
Ist nun φ = 0, so ist P = Q. Für den Viertel Kreis ist [FORMEL], also [FORMEL]; für
den halben Kreis ist φ = π, also [FORMEL]; für drei Viertheile des Kreises ist φ = 1,5 π
also [FORMEL] u. s. w. Setzt man π = 3,14159, so erhalten wir für das im Texte aufgelösste
Beispiel jedesmal die erforderliche Kraft, wenn
das Seil 1 Peripherie umschlingt = Q . 2,193, wenn das Seil 3 Peripherien umschlingt = Q . 10,551,
„ „ 2 „ „ = Q . 4,810, „ „ 4 „ „ = Q . 23,141.
Diese Werthe stimmen mit den obigen nahe überein.
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