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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Stoss des Wassers in Gerinnen.
Wenn wir auf gleiche Art den Raum A a suchen, welcher in derselben Zeit an der in-Fig.
4.
Tab.
56.
nern Peripherie zurückgelegt wird, so ist wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke C A a
und C B b nunmehr C B : C A = B b : A a, also [Formel 1] .
Weil nun C D = C B und D e = B b = V . d t ist, so finden wir D d = A a und auf
gleiche Art finden wir für den Punkt D' auch D' d' = A' a' und so für alle andern Punkte.
Hieraus folgt, dass die Geschwindigkeiten, womit die Punkte D, D' · · · · der Rad-
schaufeln dem Wasser nach der horizontalen Richtung ausweichen, den Geschwindig-
keiten in den Punkten A, A' · · · · derselben Radschaufeln in ihrer senkrechten Stellung
gleichkommen.

Setzen wir nun die Geschwindigkeit der Radschaufeln für den Mittelpunkt A' = v
und die Höhe derselben A B = b, so ist die Geschwindigkeit
in [Formel 2] , wenn der Halbmesser C A' = R gesetzt wird. Eben so
ist die Geschwindigkeit der Schaufel in [Formel 3] . Weil aber b im Verglei-
che mit 2 R sehr klein ist und wir demnach den Bruch [Formel 4] gegen 1 vernachlässigen
können, so ergibt sich hieraus, dass wir nicht nur die Geschwindigkeiten
in A und B gleich annehmen können, sondern auch, dass die Rad-
schaufeln in den Punkten D und D' dem Wasser nach der horizontalen
Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit v ausweichen.

§. 261.

Wir haben also nur noch diejenige Wassermenge zu suchen, welche den Rad-
schaufeln in ihren verschiedenen Stellungen wirklich begegnet, und wie viel
davon zwischen den Schaufeln unbenützt mit der unveränderten Geschwin-
digkeit c entgehet.

Es sey Z z der Boden des Schussgerinnes und Y y die Oberfläche des Wassers;Fig.
5.
die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Mittelpunkte der Schaufeln im Kreise be-
wegen, sey = v, und die Geschwindigkeit des Wassers im Schussgerinne = c. Wenn
die Schaufel bei O die Oberfläche des Wassers berührt, so ist O der erste Punkt, an
welchen das Wasser anstösst. Setzen wir nun die Entfernung der Schaufeln
P O = O N = N M · · · · = E, und die Zeit, in welcher der Raum P O vom Rade zurück-
gelegt wird = t, so ist wegen der gleichförmigen Bewegung [Formel 5] . Wenn nun das
Wasser an der Oberfläche in derselben Zeit den Raum L O mit der Geschwindigkeit c
zurücklegt, so ist auch [Formel 6] , folglich [Formel 7] und daher [Formel 8] . Weil nun
der Punkt L in derselben Zeit nach O kommt, in welcher P nach O gelangt, so wird
zwischen der Entfernung O w der Schaufeln nur die Länge des Wasserfadens
[Formel 9] eingeschlossen, weil das Wasser zwischen L und Y schon zwischen die
zwei nachstehenden Schaufeln gefangen wird, folglich den Punkt O nicht mehr treffen
kann und von dem Punkte P aufgehalten wird.

Stoss des Wassers in Gerinnen.
Wenn wir auf gleiche Art den Raum A a suchen, welcher in derselben Zeit an der in-Fig.
4.
Tab.
56.
nern Peripherie zurückgelegt wird, so ist wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke C A a
und C B b nunmehr C B : C A = B b : A a, also [Formel 1] .
Weil nun C D = C B und D e = B b = V . d t ist, so finden wir D d = A a und auf
gleiche Art finden wir für den Punkt D' auch D' d' = A' a' und so für alle andern Punkte.
Hieraus folgt, dass die Geschwindigkeiten, womit die Punkte D, D' · · · · der Rad-
schaufeln dem Wasser nach der horizontalen Richtung ausweichen, den Geschwindig-
keiten in den Punkten A, A' · · · · derselben Radschaufeln in ihrer senkrechten Stellung
gleichkommen.

Setzen wir nun die Geschwindigkeit der Radschaufeln für den Mittelpunkt A' = v
und die Höhe derselben A B = β, so ist die Geschwindigkeit
in [Formel 2] , wenn der Halbmesser C A' = R gesetzt wird. Eben so
ist die Geschwindigkeit der Schaufel in [Formel 3] . Weil aber β im Verglei-
che mit 2 R sehr klein ist und wir demnach den Bruch [Formel 4] gegen 1 vernachlässigen
können, so ergibt sich hieraus, dass wir nicht nur die Geschwindigkeiten
in A und B gleich annehmen können, sondern auch, dass die Rad-
schaufeln in den Punkten D und D' dem Wasser nach der horizontalen
Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit v ausweichen.

§. 261.

Wir haben also nur noch diejenige Wassermenge zu suchen, welche den Rad-
schaufeln in ihren verschiedenen Stellungen wirklich begegnet, und wie viel
davon zwischen den Schaufeln unbenützt mit der unveränderten Geschwin-
digkeit c entgehet.

Es sey Z z der Boden des Schussgerinnes und Y y die Oberfläche des Wassers;Fig.
5.
die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Mittelpunkte der Schaufeln im Kreise be-
wegen, sey = v, und die Geschwindigkeit des Wassers im Schussgerinne = c. Wenn
die Schaufel bei O die Oberfläche des Wassers berührt, so ist O der erste Punkt, an
welchen das Wasser anstösst. Setzen wir nun die Entfernung der Schaufeln
P O = O N = N M · · · · = E, und die Zeit, in welcher der Raum P O vom Rade zurück-
gelegt wird = t, so ist wegen der gleichförmigen Bewegung [Formel 5] . Wenn nun das
Wasser an der Oberfläche in derselben Zeit den Raum L O mit der Geschwindigkeit c
zurücklegt, so ist auch [Formel 6] , folglich [Formel 7] und daher [Formel 8] . Weil nun
der Punkt L in derselben Zeit nach O kommt, in welcher P nach O gelangt, so wird
zwischen der Entfernung O w der Schaufeln nur die Länge des Wasserfadens
[Formel 9] eingeschlossen, weil das Wasser zwischen L und Y schon zwischen die
zwei nachstehenden Schaufeln gefangen wird, folglich den Punkt O nicht mehr treffen
kann und von dem Punkte P aufgehalten wird.

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[349/0367] Stoss des Wassers in Gerinnen. Wenn wir auf gleiche Art den Raum A a suchen, welcher in derselben Zeit an der in- nern Peripherie zurückgelegt wird, so ist wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke C A a und C B b nunmehr C B : C A = B b : A a, also [FORMEL]. Weil nun C D = C B und D e = B b = V . d t ist, so finden wir D d = A a und auf gleiche Art finden wir für den Punkt D' auch D' d' = A' a' und so für alle andern Punkte. Hieraus folgt, dass die Geschwindigkeiten, womit die Punkte D, D' · · · · der Rad- schaufeln dem Wasser nach der horizontalen Richtung ausweichen, den Geschwindig- keiten in den Punkten A, A' · · · · derselben Radschaufeln in ihrer senkrechten Stellung gleichkommen. Fig. 4. Tab. 56. Setzen wir nun die Geschwindigkeit der Radschaufeln für den Mittelpunkt A' = v und die Höhe derselben A B = β, so ist die Geschwindigkeit in [FORMEL], wenn der Halbmesser C A' = R gesetzt wird. Eben so ist die Geschwindigkeit der Schaufel in [FORMEL]. Weil aber β im Verglei- che mit 2 R sehr klein ist und wir demnach den Bruch [FORMEL] gegen 1 vernachlässigen können, so ergibt sich hieraus, dass wir nicht nur die Geschwindigkeiten in A und B gleich annehmen können, sondern auch, dass die Rad- schaufeln in den Punkten D und D' dem Wasser nach der horizontalen Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit v ausweichen. §. 261. Wir haben also nur noch diejenige Wassermenge zu suchen, welche den Rad- schaufeln in ihren verschiedenen Stellungen wirklich begegnet, und wie viel davon zwischen den Schaufeln unbenützt mit der unveränderten Geschwin- digkeit c entgehet. Es sey Z z der Boden des Schussgerinnes und Y y die Oberfläche des Wassers; die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Mittelpunkte der Schaufeln im Kreise be- wegen, sey = v, und die Geschwindigkeit des Wassers im Schussgerinne = c. Wenn die Schaufel bei O die Oberfläche des Wassers berührt, so ist O der erste Punkt, an welchen das Wasser anstösst. Setzen wir nun die Entfernung der Schaufeln P O = O N = N M · · · · = E, und die Zeit, in welcher der Raum P O vom Rade zurück- gelegt wird = t, so ist wegen der gleichförmigen Bewegung [FORMEL]. Wenn nun das Wasser an der Oberfläche in derselben Zeit den Raum L O mit der Geschwindigkeit c zurücklegt, so ist auch [FORMEL], folglich [FORMEL] und daher [FORMEL]. Weil nun der Punkt L in derselben Zeit nach O kommt, in welcher P nach O gelangt, so wird zwischen der Entfernung O w der Schaufeln nur die Länge des Wasserfadens [FORMEL] eingeschlossen, weil das Wasser zwischen L und Y schon zwischen die zwei nachstehenden Schaufeln gefangen wird, folglich den Punkt O nicht mehr treffen kann und von dem Punkte P aufgehalten wird. Fig. 5.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 349. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/367>, abgerufen am 20.05.2024.