Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Widerstand einer Kugel. Fig.24. Tab. 65.der Geschwindigkeit v bewegen müssen, so wird jedes Element A M der Oberfläche der Kugel, dessen Fläche wir = f setzen wollen, den Widerstand m · w · f · [Formel 1] erfah- ren, dieser Widerstand sey = A B. Wird derselbe in A D nach der Richtung des Halbmessers und in A E parallel zur Oberfläche zerlegt, so ist wegen der Aehnlich- keit der Dreiecke A D B und C A O die Kraft A D = A B · [Formel 2] . Dieselbe Kraft fin- det sich an der entgegen gesetzten Seite in a, wenn H A = H a gesetzt wird. Nun können wir diese zwei Kräfte als Widerstände betrachten, welche der Kugel in den Richtungen der Halbmesser A C und a C begegnen. Weil aber diese zwei Kräfte mit einander den Winkel A C a bilden, so können wir eine jede derselben wieder in zwei andere zerlegen, wovon die eine a g = A G = A D · [Formel 3] = A B [Formel 4] nach der Richtung der Bewegung und die andere a f = A F winkelrecht auf die Richtung der Bewegung wirkt. Da die letzteren F A und f a in entgegen gesetzten Richtungen wir- ken, so heben sie sich auf; die erstern G A und g a wirken aber nach der parallelen Richtung H J, es wird daher ihre Summe 2 A B [Formel 5] den Widerstand der beiden Elemente in A und a geben. Wenn wir uns um den Mittelpunkt O dieser Kräfte mit dem Halbmesser A O einen Kreis *) Fig.
24.Setzen wir A M = dem Differenzial des Bogens H A = d s, die Ordinate des Kreises A O = y, die Abscisse H O = x und den Halbmesser der Kugel H C = A C = r, so ist der Widerstand der Zone = m · w · 2 p · y · d s [Formel 8] . Nun gibt uns aber die Aehnlichkeit der Dreiecke A M N und A C O die Grösse A M = [Formel 9] , oder d s = [Formel 10] . Wird dieser Werth für d s gesetzt, so ist der Widerstand der Zone A M m a = m . w . 2 p . r . d x [Formel 11] . Das Integral dieser Glei- chung gibt den Widerstand der Oberfläche a H A = m . w .·2 p . r [Formel 12] . Setzen wir nun H O = H C oder x = r, so ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche = 2/3 m . w . p . r2 · [Formel 13] . Widerstand einer Kugel. Fig.24. Tab. 65.der Geschwindigkeit v bewegen müssen, so wird jedes Element A M der Oberfläche der Kugel, dessen Fläche wir = f setzen wollen, den Widerstand m · w · f · [Formel 1] erfah- ren, dieser Widerstand sey = A B. Wird derselbe in A D nach der Richtung des Halbmessers und in A E parallel zur Oberfläche zerlegt, so ist wegen der Aehnlich- keit der Dreiecke A D B und C A O die Kraft A D = A B · [Formel 2] . Dieselbe Kraft fin- det sich an der entgegen gesetzten Seite in a, wenn H A = H a gesetzt wird. Nun können wir diese zwei Kräfte als Widerstände betrachten, welche der Kugel in den Richtungen der Halbmesser A C und a C begegnen. Weil aber diese zwei Kräfte mit einander den Winkel A C a bilden, so können wir eine jede derselben wieder in zwei andere zerlegen, wovon die eine a g = A G = A D · [Formel 3] = A B [Formel 4] nach der Richtung der Bewegung und die andere a f = A F winkelrecht auf die Richtung der Bewegung wirkt. Da die letzteren F A und f a in entgegen gesetzten Richtungen wir- ken, so heben sie sich auf; die erstern G A und g a wirken aber nach der parallelen Richtung H J, es wird daher ihre Summe 2 A B [Formel 5] den Widerstand der beiden Elemente in A und a geben. Wenn wir uns um den Mittelpunkt O dieser Kräfte mit dem Halbmesser A O einen Kreis *) Fig.
24.Setzen wir A M = dem Differenzial des Bogens H A = d s, die Ordinate des Kreises A O = y, die Abscisse H O = x und den Halbmesser der Kugel H C = A C = r, so ist der Widerstand der Zone = m · w · 2 π · y · d s [Formel 8] . Nun gibt uns aber die Aehnlichkeit der Dreiecke A M N und A C O die Grösse A M = [Formel 9] , oder d s = [Formel 10] . Wird dieser Werth für d s gesetzt, so ist der Widerstand der Zone A M m a = m . w . 2 π . r . d x [Formel 11] . Das Integral dieser Glei- chung gibt den Widerstand der Oberfläche a H A = m . w .·2 π . r [Formel 12] . Setzen wir nun H O = H C oder x = r, so ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche = ⅔ m . w . π . r2 · [Formel 13] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0500" n="482"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Widerstand einer Kugel.</hi></fw><lb/><note place="left">Fig.<lb/> 24.<lb/> Tab.<lb/> 65.</note>der Geschwindigkeit v bewegen müssen, so wird jedes Element A M der Oberfläche<lb/> der Kugel, dessen Fläche wir = f setzen wollen, den Widerstand m · w · f · <formula/> erfah-<lb/> ren, dieser Widerstand sey = A B. Wird derselbe in A D nach der Richtung des<lb/> Halbmessers und in A E parallel zur Oberfläche zerlegt, so ist wegen der Aehnlich-<lb/> keit der Dreiecke A D B und C A O die Kraft A D = A B · <formula/>. Dieselbe Kraft fin-<lb/> det sich an der entgegen gesetzten Seite in a, wenn H A = H a gesetzt wird. Nun<lb/> können wir diese zwei Kräfte als Widerstände betrachten, welche der Kugel in den<lb/> Richtungen der Halbmesser A C und a C begegnen. Weil aber diese zwei Kräfte mit<lb/> einander den Winkel A C a bilden, so können wir eine jede derselben wieder in zwei<lb/> andere zerlegen, wovon die eine a g = A G = A D · <formula/> = A B <formula/> nach der<lb/> Richtung der Bewegung und die andere a f = A F winkelrecht auf die Richtung der<lb/> Bewegung wirkt. Da die letzteren F A und f a in entgegen gesetzten Richtungen wir-<lb/> ken, so heben sie sich auf; die erstern G A und g a wirken aber nach der parallelen<lb/> Richtung H J, es wird daher ihre Summe 2 A B <formula/> den Widerstand der beiden<lb/> Elemente in A und a geben.</p><lb/> <p>Wenn wir uns um den Mittelpunkt O dieser Kräfte mit dem Halbmesser A O einen Kreis<lb/> denken, dessen Fläche auf die Richtung H J winkelrecht ist, so sehen wir, dass in allen<lb/> Punkten der Peripherie dieses Kreises immer zwei einander gegenüberstehende Elemente<lb/> denselben Widerstand ausüben; es wird demnach der Widerstand der Zone A M m a dem<lb/> Flächeninhalte dieser Zone multiplizirt mit dem Widerstande eines jeden Punktes der Zone<lb/> gleich seyn, und derselbe ist = A M · 2 <hi rendition="#i">π</hi> A O · A G = A M · 2 <hi rendition="#i">π</hi> A·O · A B <formula/>. Setzen wir<lb/> statt A B seinen Werth, so ist der Widerstand der Zone = A M . 2 <hi rendition="#i">π</hi> . A O · m . w · <formula/>,<lb/> wo f die Flächeneinheit für jeden Punkt ist. Nach der unten beigefügten höhern Rech-<lb/> nung<note place="foot" n="*)"><note place="left">Fig.<lb/> 24.</note>Setzen wir A M = dem Differenzial des Bogens H A = d s, die Ordinate des Kreises A O = y, die<lb/> Abscisse H O = x und den Halbmesser der Kugel H C = A C = r, so ist der Widerstand der<lb/> Zone = m · w · 2 <hi rendition="#i">π</hi> · y · d s <formula/>. Nun gibt uns aber die Aehnlichkeit der Dreiecke A M N<lb/> und A C O die Grösse A M = <formula/>, oder d s = <formula/>. Wird dieser Werth für d s gesetzt, so ist<lb/> der Widerstand der Zone A M m a = m . w . 2 <hi rendition="#i">π</hi> . r . d x <formula/>. Das Integral dieser Glei-<lb/> chung gibt den Widerstand der Oberfläche a H A = m . w .·2 <hi rendition="#i">π</hi> . r <formula/>. Setzen<lb/> wir nun H O = H C oder x = r, so ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche<lb/> = ⅔ m . w . <hi rendition="#i">π</hi> . r<hi rendition="#sup">2</hi> · <formula/>.</note> ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche = ⅔ . m . w . <hi rendition="#i">π</hi> . r<hi rendition="#sup">2</hi> · <formula/>.<lb/> Weil nun <hi rendition="#i">π</hi> . r<hi rendition="#sup">2</hi> die Fläche des grössten Kreises oder die Fläche der Projekzion der hal-<lb/> ben Kugel ist, so sehen wir, <hi rendition="#g">dass der Widerstand der krummen Ober-<lb/> fläche der Halbkugel sich zum Widerstand der Projekzionsfläche<lb/> wie ⅔ : 1 verhält</hi>.</p><lb/> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [482/0500]
Widerstand einer Kugel.
der Geschwindigkeit v bewegen müssen, so wird jedes Element A M der Oberfläche
der Kugel, dessen Fläche wir = f setzen wollen, den Widerstand m · w · f · [FORMEL] erfah-
ren, dieser Widerstand sey = A B. Wird derselbe in A D nach der Richtung des
Halbmessers und in A E parallel zur Oberfläche zerlegt, so ist wegen der Aehnlich-
keit der Dreiecke A D B und C A O die Kraft A D = A B · [FORMEL]. Dieselbe Kraft fin-
det sich an der entgegen gesetzten Seite in a, wenn H A = H a gesetzt wird. Nun
können wir diese zwei Kräfte als Widerstände betrachten, welche der Kugel in den
Richtungen der Halbmesser A C und a C begegnen. Weil aber diese zwei Kräfte mit
einander den Winkel A C a bilden, so können wir eine jede derselben wieder in zwei
andere zerlegen, wovon die eine a g = A G = A D · [FORMEL] = A B [FORMEL] nach der
Richtung der Bewegung und die andere a f = A F winkelrecht auf die Richtung der
Bewegung wirkt. Da die letzteren F A und f a in entgegen gesetzten Richtungen wir-
ken, so heben sie sich auf; die erstern G A und g a wirken aber nach der parallelen
Richtung H J, es wird daher ihre Summe 2 A B [FORMEL] den Widerstand der beiden
Elemente in A und a geben.
Fig.
24.
Tab.
65.
Wenn wir uns um den Mittelpunkt O dieser Kräfte mit dem Halbmesser A O einen Kreis
denken, dessen Fläche auf die Richtung H J winkelrecht ist, so sehen wir, dass in allen
Punkten der Peripherie dieses Kreises immer zwei einander gegenüberstehende Elemente
denselben Widerstand ausüben; es wird demnach der Widerstand der Zone A M m a dem
Flächeninhalte dieser Zone multiplizirt mit dem Widerstande eines jeden Punktes der Zone
gleich seyn, und derselbe ist = A M · 2 π A O · A G = A M · 2 π A·O · A B [FORMEL]. Setzen wir
statt A B seinen Werth, so ist der Widerstand der Zone = A M . 2 π . A O · m . w · [FORMEL],
wo f die Flächeneinheit für jeden Punkt ist. Nach der unten beigefügten höhern Rech-
nung *) ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche = ⅔ . m . w . π . r2 · [FORMEL].
Weil nun π . r2 die Fläche des grössten Kreises oder die Fläche der Projekzion der hal-
ben Kugel ist, so sehen wir, dass der Widerstand der krummen Ober-
fläche der Halbkugel sich zum Widerstand der Projekzionsfläche
wie ⅔ : 1 verhält.
*) Setzen wir A M = dem Differenzial des Bogens H A = d s, die Ordinate des Kreises A O = y, die
Abscisse H O = x und den Halbmesser der Kugel H C = A C = r, so ist der Widerstand der
Zone = m · w · 2 π · y · d s [FORMEL]. Nun gibt uns aber die Aehnlichkeit der Dreiecke A M N
und A C O die Grösse A M = [FORMEL], oder d s = [FORMEL]. Wird dieser Werth für d s gesetzt, so ist
der Widerstand der Zone A M m a = m . w . 2 π . r . d x [FORMEL]. Das Integral dieser Glei-
chung gibt den Widerstand der Oberfläche a H A = m . w .·2 π . r [FORMEL]. Setzen
wir nun H O = H C oder x = r, so ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche
= ⅔ m . w . π . r2 · [FORMEL].
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