Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.
Theorie des Stosses. Fig.1. Tab. 83.gestossenen Körpers = m und seine Geschwindigkeit vor dem Stosse = c, der Stoss sey central und C grösser als c. Die bewegende Kraft oder die Quantität der Bewegung bei- der Körper vor dem Stosse wird offenbar durch die Summe der Produkte M . C + m . c ausgedrückt. Sind die Körper unelastisch, so wird der Stoss so lange fortdauern, bis beide dieselbe Geschwindigkeit erlangt haben, und gemeinschaftlich mit derselben fort- gehen. Heissen wir diese Geschwindigkeit = V, so wird die Summe der Bewegung nach dem Stosse = V (M + m) seyn; da aber beide Produkte einander gleich seyn müssen *), indem der Körper m eben so viel an Bewegung gewinnt, als M verliert, so haben wir: M . C + m . c = V (M + m) und V = [Formel 9] . *) Die Theorie des Stosses der Körper lässt sich auf folgende Art genauer geben:
Es sey das Gewicht des stossenden Körpers = M, seine Geschwindigkeit = C vor dem Stosse, und = V nach dem Stosse; eben so sey das Gewicht des gestossenen Körpers = m, seine Geschwin- digkeit = c vor, und = v nach dem Stosse, die Richtung der Bewegung bei beiden Körpern sey die- selbe und C grösser als c. Im Augenblicke des Stosses wird die Stosskraft p wirksam, indem sie den Körper M verzögert und m beschleunigt; da aber die Wirkung der Gegenwirkung gleich kommt, so muss p und auch die Zeit t, während welcher der Stoss Statt findet, für beide Körper gleich seyn, und wir können überdiess während der kurzen Zeit d t die Stosskraft als eine beständige Kraft anse- hen und sie sonach mit der Wirkung der Schwerkraft vergleichen. Würde also der gestossene Kör- per m durch eine Kraft bewegt, welche seinem Gewichte m gleich kommt, so erhielte er in der Zeit d t die Geschwindigkeit 2 g . d t; nun wirkt aber die Stosskraft p auf ihn und setzt ihm die Geschwin- digkeit d v zu, demnach ist m : 2 g . d t = p : d v. Hieraus folgt m . d v = 2 g . p . d t, und Const. + m . v = 2 g integral p . d t, wo das integral p . d t sich nicht bestimmen lässt, weil es unbekannt ist, wie die Stosskraft p von der Zeit t abhängt. Zur Bestimmung der Constanten wissen wir, dass zu An- fang des Stosses die Geschwindigkeit des gestossenen Körpers v = c ist; für diesen Anfang ist aber die Zeit t = 0 und auch integral p . d t = 0, da t als Faktor hierinn vorkommen muss. Wir haben also Const + m . c = 0 und Const = -- m . c; daher m (v -- c) = 2 g integral p . d t. Auf gleiche Art haben wir für den stossenden Körper die Proporzion: Würde derselbe durch eine seinem Gewichte M gleichkommende Kraft bewegt, so erhielte er in der Zeit d t die Beschleu- nigung 2 g . d t, nun wird er durch die Stosskraft p aufgehalten, verliert daher an seiner Geschwin- digkeit d V, oder erhält die Beschleunigung -- d V. Also ist M : 2 g . d t = p : -- d V und hieraus Const -- M . V = 2 g integral p . d t. Zu Anfang des Stosses ist wieder integral p . d t = 0 und V = C, also Const -- M . C = 0; daher M (C -- V) = 2 g integral p . d t. Da nun p und t für beide Körper gleich sind, so haben wir M (C -- V) = m (v -- c), woraus M . C + m . c = M . V + m . v (I) folgt; demnach ist die Summe der Bewegungen vor und nach dem Stosse gleich. In dieser Gleichung kommen zwei Unbekannte v und V vor, es muss daher noch eine neue Be- stimmung eintreten. Bezeichnen wir für die Dauer t des Stosses den von M beschriebenen Raum mit s und jenen des Körpers m für dieselbe Zeit mit s', so ist d t = [Formel 1] und d t = [Formel 2] und wir ha- ben, dieses in die erste Proporzion substituirt, m : [Formel 3] = p : d v und m · [Formel 4] + Const = integral p . d s' wobei der zweite Theil wieder nicht integrirt werden kann, weil man nicht weiss, wie die Stosskraft p mit dem Raume zu oder abnimmt. Zu Anfang des Stosses ist s' = 0 und auch die Wirkung der Körper auf einander p = 0, demnach integral p . d s' = 0 und m · [Formel 5] + Const = 0 und m [Formel 6] = integral p . d s'. Auf gleiche Art findet man für den stossenden Körper M [Formel 7] = integral p . d s und der Unterschied der beiden letzten Gleichungen gibt M [Formel 8] + integral p . d(s -- s') (II), wo s -- s' Theorie des Stosses. Fig.1. Tab. 83.gestossenen Körpers = m und seine Geschwindigkeit vor dem Stosse = c, der Stoss sey central und C grösser als c. Die bewegende Kraft oder die Quantität der Bewegung bei- der Körper vor dem Stosse wird offenbar durch die Summe der Produkte M . C + m . c ausgedrückt. Sind die Körper unelastisch, so wird der Stoss so lange fortdauern, bis beide dieselbe Geschwindigkeit erlangt haben, und gemeinschaftlich mit derselben fort- gehen. Heissen wir diese Geschwindigkeit = V, so wird die Summe der Bewegung nach dem Stosse = V (M + m) seyn; da aber beide Produkte einander gleich seyn müssen *), indem der Körper m eben so viel an Bewegung gewinnt, als M verliert, so haben wir: M . C + m . c = V (M + m) und V = [Formel 9] . *) Die Theorie des Stosses der Körper lässt sich auf folgende Art genauer geben:
Es sey das Gewicht des stossenden Körpers = M, seine Geschwindigkeit = C vor dem Stosse, und = V nach dem Stosse; eben so sey das Gewicht des gestossenen Körpers = m, seine Geschwin- digkeit = c vor, und = v nach dem Stosse, die Richtung der Bewegung bei beiden Körpern sey die- selbe und C grösser als c. Im Augenblicke des Stosses wird die Stosskraft p wirksam, indem sie den Körper M verzögert und m beschleunigt; da aber die Wirkung der Gegenwirkung gleich kommt, so muss p und auch die Zeit t, während welcher der Stoss Statt findet, für beide Körper gleich seyn, und wir können überdiess während der kurzen Zeit d t die Stosskraft als eine beständige Kraft anse- hen und sie sonach mit der Wirkung der Schwerkraft vergleichen. Würde also der gestossene Kör- per m durch eine Kraft bewegt, welche seinem Gewichte m gleich kommt, so erhielte er in der Zeit d t die Geschwindigkeit 2 g . d t; nun wirkt aber die Stosskraft p auf ihn und setzt ihm die Geschwin- digkeit d v zu, demnach ist m : 2 g . d t = p : d v. Hieraus folgt m . d v = 2 g . p . d t, und Const. + m . v = 2 g ∫ p . d t, wo das ∫ p . d t sich nicht bestimmen lässt, weil es unbekannt ist, wie die Stosskraft p von der Zeit t abhängt. Zur Bestimmung der Constanten wissen wir, dass zu An- fang des Stosses die Geschwindigkeit des gestossenen Körpers v = c ist; für diesen Anfang ist aber die Zeit t = 0 und auch ∫ p . d t = 0, da t als Faktor hierinn vorkommen muss. Wir haben also Const + m . c = 0 und Const = — m . c; daher m (v — c) = 2 g ∫ p . d t. Auf gleiche Art haben wir für den stossenden Körper die Proporzion: Würde derselbe durch eine seinem Gewichte M gleichkommende Kraft bewegt, so erhielte er in der Zeit d t die Beschleu- nigung 2 g . d t, nun wird er durch die Stosskraft p aufgehalten, verliert daher an seiner Geschwin- digkeit d V, oder erhält die Beschleunigung — d V. Also ist M : 2 g . d t = p : — d V und hieraus Const — M . V = 2 g ∫ p . d t. Zu Anfang des Stosses ist wieder ∫ p . d t = 0 und V = C, also Const — M . C = 0; daher M (C — V) = 2 g ∫ p . d t. Da nun p und t für beide Körper gleich sind, so haben wir M (C — V) = m (v — c), woraus M . C + m . c = M . V + m . v (I) folgt; demnach ist die Summe der Bewegungen vor und nach dem Stosse gleich. In dieser Gleichung kommen zwei Unbekannte v und V vor, es muss daher noch eine neue Be- stimmung eintreten. Bezeichnen wir für die Dauer t des Stosses den von M beschriebenen Raum mit s und jenen des Körpers m für dieselbe Zeit mit s', so ist d t = [Formel 1] und d t = [Formel 2] und wir ha- ben, dieses in die erste Proporzion substituirt, m : [Formel 3] = p : d v und m · [Formel 4] + Const = ∫ p . d s' wobei der zweite Theil wieder nicht integrirt werden kann, weil man nicht weiss, wie die Stosskraft p mit dem Raume zu oder abnimmt. Zu Anfang des Stosses ist s' = 0 und auch die Wirkung der Körper auf einander p = 0, demnach ∫ p . d s' = 0 und m · [Formel 5] + Const = 0 und m [Formel 6] = ∫ p . d s'. 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Theorie des Stosses.
gestossenen Körpers = m und seine Geschwindigkeit vor dem Stosse = c, der Stoss sey
central und C grösser als c. Die bewegende Kraft oder die Quantität der Bewegung bei-
der Körper vor dem Stosse wird offenbar durch die Summe der Produkte M . C + m . c
ausgedrückt. Sind die Körper unelastisch, so wird der Stoss so lange fortdauern, bis
beide dieselbe Geschwindigkeit erlangt haben, und gemeinschaftlich mit derselben fort-
gehen. Heissen wir diese Geschwindigkeit = V, so wird die Summe der Bewegung
nach dem Stosse = V (M + m) seyn; da aber beide Produkte einander gleich seyn
müssen *), indem der Körper m eben so viel an Bewegung gewinnt, als M verliert, so
haben wir: M . C + m . c = V (M + m) und V = [FORMEL].
Fig.
1.
Tab.
83.
*) Die Theorie des Stosses der Körper lässt sich auf folgende Art genauer geben:
Es sey das Gewicht des stossenden Körpers = M, seine Geschwindigkeit = C vor dem Stosse, und
= V nach dem Stosse; eben so sey das Gewicht des gestossenen Körpers = m, seine Geschwin-
digkeit = c vor, und = v nach dem Stosse, die Richtung der Bewegung bei beiden Körpern sey die-
selbe und C grösser als c. Im Augenblicke des Stosses wird die Stosskraft p wirksam, indem sie den
Körper M verzögert und m beschleunigt; da aber die Wirkung der Gegenwirkung gleich kommt, so
muss p und auch die Zeit t, während welcher der Stoss Statt findet, für beide Körper gleich seyn,
und wir können überdiess während der kurzen Zeit d t die Stosskraft als eine beständige Kraft anse-
hen und sie sonach mit der Wirkung der Schwerkraft vergleichen. Würde also der gestossene Kör-
per m durch eine Kraft bewegt, welche seinem Gewichte m gleich kommt, so erhielte er in der Zeit
d t die Geschwindigkeit 2 g . d t; nun wirkt aber die Stosskraft p auf ihn und setzt ihm die Geschwin-
digkeit d v zu, demnach ist m : 2 g . d t = p : d v. Hieraus folgt m . d v = 2 g . p . d t, und
Const. + m . v = 2 g ∫ p . d t, wo das ∫ p . d t sich nicht bestimmen lässt, weil es unbekannt ist, wie
die Stosskraft p von der Zeit t abhängt. Zur Bestimmung der Constanten wissen wir, dass zu An-
fang des Stosses die Geschwindigkeit des gestossenen Körpers v = c ist; für diesen Anfang ist aber
die Zeit t = 0 und auch ∫ p . d t = 0, da t als Faktor hierinn vorkommen muss. Wir haben also
Const + m . c = 0 und Const = — m . c; daher m (v — c) = 2 g ∫ p . d t.
Auf gleiche Art haben wir für den stossenden Körper die Proporzion: Würde derselbe durch
eine seinem Gewichte M gleichkommende Kraft bewegt, so erhielte er in der Zeit d t die Beschleu-
nigung 2 g . d t, nun wird er durch die Stosskraft p aufgehalten, verliert daher an seiner Geschwin-
digkeit d V, oder erhält die Beschleunigung — d V. Also ist M : 2 g . d t = p : — d V und hieraus
Const — M . V = 2 g ∫ p . d t. Zu Anfang des Stosses ist wieder ∫ p . d t = 0 und V = C, also
Const — M . C = 0; daher M (C — V) = 2 g ∫ p . d t. Da nun p und t für beide Körper gleich
sind, so haben wir M (C — V) = m (v — c), woraus M . C + m . c = M . V + m . v (I) folgt;
demnach ist die Summe der Bewegungen vor und nach dem Stosse gleich.
In dieser Gleichung kommen zwei Unbekannte v und V vor, es muss daher noch eine neue Be-
stimmung eintreten. Bezeichnen wir für die Dauer t des Stosses den von M beschriebenen Raum
mit s und jenen des Körpers m für dieselbe Zeit mit s', so ist d t = [FORMEL] und d t = [FORMEL] und wir ha-
ben, dieses in die erste Proporzion substituirt, m : [FORMEL] = p : d v und m · [FORMEL] + Const = ∫ p . d s'
wobei der zweite Theil wieder nicht integrirt werden kann, weil man nicht weiss, wie die Stosskraft p
mit dem Raume zu oder abnimmt. Zu Anfang des Stosses ist s' = 0 und auch die Wirkung der Körper auf
einander p = 0, demnach ∫ p . d s' = 0 und m · [FORMEL] + Const = 0 und m [FORMEL] = ∫ p . d s'. Auf
gleiche Art findet man für den stossenden Körper M [FORMEL] = ∫ p . d s und der Unterschied
der beiden letzten Gleichungen gibt M [FORMEL] + ∫ p . d(s — s') (II), wo s — s'
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 154. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/190>, abgerufen am 24.11.2024. |
