Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Tritt das Horn, nachdem es geschöpft hat, aus dem Wasser, so wird die Hälfte
der ersten, von der äussern Luft abgeschlossenen Windung mit Wasser, und die andere
Hälfte mit Luft gefüllt seyn. Der kubische Inhalt des Wassers ist daher
= 1/2 . 2 p . A . p . a2 = p2 . A . a2 und eben so gross ist der kubische Inhalt der Luft. Diese
Fig.
11.
bis
13.
Tab.
86.Luft wird von der Wassersäule h + a m' = h + 2 A -- 2a zusammengedrückt. Der kubische
Inhalt der letzten Windung ist = 2 p . A . p . x2, hierin nimmt das Wasser wegen seiner
Unzusammendrückbarkeit, und da in jedem Gewinde gleich viel Wasser enthalten ist, den
Raum p2 . A. a2 ein, es bleibt daher für die Luft im letzten Gewinde nur der Raum
2 p2 . A . x2 -- p2 . A . a2 übrig. Diese Luft wird, von der Höhe
H + h -- k'm' = H + h -- A -- A. Cosw + a zusammengedrückt. Da sich hier dieselbe
Luftmenge unter verschiedenem Drucke befindet, so haben wir nach dem Mariotti'schen
Gesetze, dass nämlich die Räume derselben Luft im umgekehrten Verhältniss der drü-
ckenden Wassersäulen stehen, die Proporzion:
p2 . A . a2 : 2 p2 . A . x2 -- p2 . A. a2 = H + h -- A -- A. Cosw + a : h + 2 A -- 2 a
oder a2 (h + 2 A -- 2 a) = (2 x2 -- a2) (H + h -- A (1 + Cosw) + a). Hieraus folgt die
Steighöhe H = [Formel 1] (II).

Zur Bestimmung der Verhältnisse der Halbmesser A, a, x gegeneinander haben wir
noch folgende Gleichungen. Bezeichnen wir den Winkel e c r = n, so ist
a' c = A . Cos n = r c -- r a' = A -- x, also Cos n = 1 -- [Formel 2] , und [Formel 3] = 1 -- Cos n (III).

Der kubische Inhalt der Luft im letzten Gewinde war = 2 p2 . A . x2 -- p2 . A . a2. Die-
ser Kubikinhalt wird auch durch Multiplikazion der Länge des Bogens e r k mit p . x2 er-
halten. Nun ist aber e r k = e r + r k = n . A + w . A und der kubische Inhalt
= (n + w) A . p . x2, demnach 2 p . A . x2 -- p2 . A . a2 = (n + w) A . p . x2. Hieraus folgt das
Verhältniss [Formel 4] = 2 -- [Formel 5] (IV.) Die Verbindung der zwei Gleichungen (III) und (IV)
gibt uns das weitere Verhältniss [Formel 6] = (1 -- Cos n) [Formel 7] (V).

Um endlich noch die Länge L aller Windungen, oder des ganzen Schlangenrohrs zu
finden, haben wir die Gleichung L = p . 2 A . N (VI).

Da die Gleichung (V) aus der Verbindung von (III) und (IV) entstand, so haben wir
eigentlich 5 Gleichungen zur Bestimmung der Konstrukzionsverhältnisse einer Spiral-
pumpe, wobei jedoch auf die gehobene Wassermenge oder den Effekt noch keine Rücksicht
genommen ist. Da p = 3,1416, und die Höhe des Druckes der atmosphärischen Luft mit
h = 32 Fuss angenommen werden kann, so bleiben acht Grössen, nämlich N, H, a, x, A, w, n, L,
zu deren Bestimmung 5 Gleichungen vorhanden sind. Die Steighöhe H des Wassers ist
gewöhnlich gegeben, es müssen also zwei Grössen angenommen werden.

Zur bessern Uebersicht der Konstrukzionsverhältnisse einer Spiralpumpe haben wir
nachstehende zwei Tabellen berechnet, in deren erster n = 15 Grad, in der zweiten aber
n = 30 Grad gesetzt wurde. Der Werth von w wurde von 10 zu 10° angenommen, und
zwar in der ersten Tabelle von 180 -- 15 = 165° bis zu dem Werthe von 15°, eben so in
der zweiten Tabelle von 180 -- 30 = 150° bis w = 30°; für alle diese Annahmen sind nun
die übrigen Grössen berechnet worden.

Tritt das Horn, nachdem es geschöpft hat, aus dem Wasser, so wird die Hälfte
der ersten, von der äussern Luft abgeschlossenen Windung mit Wasser, und die andere
Hälfte mit Luft gefüllt seyn. Der kubische Inhalt des Wassers ist daher
= ½ . 2 π . A . π . a2 = π2 . A . a2 und eben so gross ist der kubische Inhalt der Luft. Diese
Fig.
11.
bis
13.
Tab.
86.Luft wird von der Wassersäule h + a m' = h + 2 A — 2a zusammengedrückt. Der kubische
Inhalt der letzten Windung ist = 2 π . A . π . x2, hierin nimmt das Wasser wegen seiner
Unzusammendrückbarkeit, und da in jedem Gewinde gleich viel Wasser enthalten ist, den
Raum π2 . A. a2 ein, es bleibt daher für die Luft im letzten Gewinde nur der Raum
2 π2 . A . x2 — π2 . A . a2 übrig. Diese Luft wird, von der Höhe
H + h — k'm' = H + h — A — A. Cosw + a zusammengedrückt. Da sich hier dieselbe
Luftmenge unter verschiedenem Drucke befindet, so haben wir nach dem Mariotti’schen
Gesetze, dass nämlich die Räume derselben Luft im umgekehrten Verhältniss der drü-
ckenden Wassersäulen stehen, die Proporzion:
π2 . A . a2 : 2 π2 . A . x2 — π2 . A. a2 = H + h — A — A. Cosw + a : h + 2 A — 2 a
oder a2 (h + 2 A — 2 a) = (2 x2 — a2) (H + h — A (1 + Cosw) + a). Hieraus folgt die
Steighöhe H = [Formel 1] (II).

Zur Bestimmung der Verhältnisse der Halbmesser A, a, x gegeneinander haben wir
noch folgende Gleichungen. Bezeichnen wir den Winkel e c r = ν, so ist
a' c = A . Cos ν = r c — r a' = A — x, also Cos ν = 1 — [Formel 2] , und [Formel 3] = 1 — Cos ν (III).

Der kubische Inhalt der Luft im letzten Gewinde war = 2 π2 . A . x2 — π2 . A . a2. Die-
ser Kubikinhalt wird auch durch Multiplikazion der Länge des Bogens e r k mit π . x2 er-
halten. Nun ist aber e r k = e r + r k = ν . A + w . A und der kubische Inhalt
= (ν + w) A . π . x2, demnach 2 π . A . x2 — π2 . A . a2 = (ν + w) A . π . x2. Hieraus folgt das
Verhältniss [Formel 4] = 2 — [Formel 5] (IV.) Die Verbindung der zwei Gleichungen (III) und (IV)
gibt uns das weitere Verhältniss [Formel 6] = (1 — Cos ν) [Formel 7] (V).

Um endlich noch die Länge L aller Windungen, oder des ganzen Schlangenrohrs zu
finden, haben wir die Gleichung L = π . 2 A . N (VI).

Da die Gleichung (V) aus der Verbindung von (III) und (IV) entstand, so haben wir
eigentlich 5 Gleichungen zur Bestimmung der Konstrukzionsverhältnisse einer Spiral-
pumpe, wobei jedoch auf die gehobene Wassermenge oder den Effekt noch keine Rücksicht
genommen ist. Da π = 3,1416, und die Höhe des Druckes der atmosphärischen Luft mit
h = 32 Fuss angenommen werden kann, so bleiben acht Grössen, nämlich N, H, a, x, A, w, ν, L,
zu deren Bestimmung 5 Gleichungen vorhanden sind. Die Steighöhe H des Wassers ist
gewöhnlich gegeben, es müssen also zwei Grössen angenommen werden.

Zur bessern Uebersicht der Konstrukzionsverhältnisse einer Spiralpumpe haben wir
nachstehende zwei Tabellen berechnet, in deren erster ν = 15 Grad, in der zweiten aber
ν = 30 Grad gesetzt wurde. Der Werth von w wurde von 10 zu 10° angenommen, und
zwar in der ersten Tabelle von 180 — 15 = 165° bis zu dem Werthe von 15°, eben so in
der zweiten Tabelle von 180 — 30 = 150° bis w = 30°; für alle diese Annahmen sind nun
die übrigen Grössen berechnet worden.