Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Es seyen E und J die Mittelpunkte der zwei Triebstöcke, wo der erste Eingriff
und das Auslassen desselben Zahnes erfolgt. Verbinden wir diese zwei Punkte J und
E durch eine gerade Linie, ziehen die Halbmesser des gezähnten Rades C A und C E
Fig.
3.
Tab.
73.und beschreiben aus dem Mittelpunkte D den Theilriss, so geht die um D beschrie-
bene Kreislinie durch die beiden Punkte E und J und es ist nach der Zeichnung der
Epicykloide der Bogen des Getriebes E J dem Bogen des Rades A E oder der Entfer-
nung der beiden Triebstöcke gleich. Setzen wir nun den Winkel J D E = l, und den
Winkel A C E = m, so haben wir b . l = a . m = 4 r, wenn nämlich der Halbmesser des
Triebstockes und des Zahnes = r gesetzt wird. Ferner ist die Sehne J E = 2 b . Sin 1/2 l,
und wenn der Winkel 1/2 l kleiner als 1 ist, so gibt uns die bekannte Gleichung, wo-
durch der Sinus durch die Länge seines Bogens ausgedrückt wird,
Sin 1/2 l = 1/2 l -- [Formel 1] · · · · · die Länge der Sehne J E = b . l -- [Formel 2] ; weil aber
b . l = 4 r, so ist auch die Länge der Sehne J E = 4 r -- [Formel 3] . Ziehen wir den Halb-
messer des Triebstockes J i von J E ab, so haben wir i E = 3 r -- [Formel 4] .

Ziehen wir noch die Sehne A E, so bildet die in E für beide Kreise gemeinschaftliche
Tangente mit der Sehne A E einen Winkel, welcher die Hälfte des abgeschnittenen Bogens
A E oder 1/2 m zu seinem Maasse hat, und eben so bildet diese Tangente mit der Sehne J E
einen Winkel, dessen Maass die Hälfte des abgeschnittenen Bogens J E oder 1/2 l ist; mithin
ist der Winkel i E A = 1/2 m + 1/2 l. Es ist daher die auf A E senkrechte i n = i E . Sin 1/2 (l + m),
und wenn wir statt i E seinen Werth setzen und die den 2ten Grad übersteigenden Poten-
zen von l und m vernachlässigen, so ist die Höhe des Zahnes i n = [Formel 5] (l + m).
Hieraus ersehen wir, dass die Zähne einerlei Höhe erhalten, wenn die Summe der
Winkel l + m eine gleiche Grösse beträgt. Es mag demnach l grösser oder kleiner als m
seyn, oder das grössere Rad mag in ein kleineres Getriebe oder umgekehrt ein Getriebe
mit einem grössern Durchmesser in ein Rad mit einem kleinern Durchmesser eingreifen, so
bleibt doch die nöthige Höhe der Zähne unverändert, wenn nur die Summe der Winkel
l + m, oder die Anzahl der Triebstöcke und Zähne zusammen dieselbe ist.

Ferner ist die Sehne A E = 2 a . Sin 1/2 m = a . m [Formel 6] ; wird hiervon
A a oder r abgezogen, so bleibt a E = 3 r -- [Formel 7] . Weiters ist
n E = i E · Cos [Formel 8] , und wenn wir statt i E den vorhin ge-
fundenen Werth 3 r [Formel 9] setzen und die höhern Potenzen von l und m abermals ver-
nachlässigen, so ist n E = 3 r [Formel 10] . Wird nun dieser Werth von a E abge-
zogen, so bleibt a E = n E = a n = 3 r [Formel 11] .

Es seyen E und J die Mittelpunkte der zwei Triebstöcke, wo der erste Eingriff
und das Auslassen desselben Zahnes erfolgt. Verbinden wir diese zwei Punkte J und
E durch eine gerade Linie, ziehen die Halbmesser des gezähnten Rades C A und C E
Fig.
3.
Tab.
73.und beschreiben aus dem Mittelpunkte D den Theilriss, so geht die um D beschrie-
bene Kreislinie durch die beiden Punkte E und J und es ist nach der Zeichnung der
Epicykloide der Bogen des Getriebes E J dem Bogen des Rades A E oder der Entfer-
nung der beiden Triebstöcke gleich. Setzen wir nun den Winkel J D E = λ, und den
Winkel A C E = μ, so haben wir b . λ = a . μ = 4 r, wenn nämlich der Halbmesser des
Triebstockes und des Zahnes = r gesetzt wird. Ferner ist die Sehne J E = 2 b . Sin ½ λ,
und wenn der Winkel ½ λ kleiner als 1 ist, so gibt uns die bekannte Gleichung, wo-
durch der Sinus durch die Länge seines Bogens ausgedrückt wird,
Sin ½ λ = ½ λ — [Formel 1] · · · · · die Länge der Sehne J E = b . λ — [Formel 2] ; weil aber
b . λ = 4 r, so ist auch die Länge der Sehne J E = 4 r — [Formel 3] . Ziehen wir den Halb-
messer des Triebstockes J i von J E ab, so haben wir i E = 3 r — [Formel 4] .

Ziehen wir noch die Sehne A E, so bildet die in E für beide Kreise gemeinschaftliche
Tangente mit der Sehne A E einen Winkel, welcher die Hälfte des abgeschnittenen Bogens
A E oder ½ μ zu seinem Maasse hat, und eben so bildet diese Tangente mit der Sehne J E
einen Winkel, dessen Maass die Hälfte des abgeschnittenen Bogens J E oder ½ λ ist; mithin
ist der Winkel i E A = ½ μ + ½ λ. Es ist daher die auf A E senkrechte i n = i E . Sin ½ (λ + μ),
und wenn wir statt i E seinen Werth setzen und die den 2ten Grad übersteigenden Poten-
zen von λ und μ vernachlässigen, so ist die Höhe des Zahnes i n = [Formel 5] (λ + μ).
Hieraus ersehen wir, dass die Zähne einerlei Höhe erhalten, wenn die Summe der
Winkel λ + μ eine gleiche Grösse beträgt. Es mag demnach λ grösser oder kleiner als μ
seyn, oder das grössere Rad mag in ein kleineres Getriebe oder umgekehrt ein Getriebe
mit einem grössern Durchmesser in ein Rad mit einem kleinern Durchmesser eingreifen, so
bleibt doch die nöthige Höhe der Zähne unverändert, wenn nur die Summe der Winkel
λ + μ, oder die Anzahl der Triebstöcke und Zähne zusammen dieselbe ist.

Ferner ist die Sehne A E = 2 a . Sin ½ μ = a . μ [Formel 6] ; wird hiervon
A a oder r abgezogen, so bleibt a E = 3 r — [Formel 7] . Weiters ist
n E = i E · Cos [Formel 8] , und wenn wir statt i E den vorhin ge-
fundenen Werth 3 r [Formel 9] setzen und die höhern Potenzen von λ und μ abermals ver-
nachlässigen, so ist n E = 3 r [Formel 10] . Wird nun dieser Werth von a E abge-
zogen, so bleibt a E = n E = a n = 3 r [Formel 11] .