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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 63 Vieldeutigkeit des Quotienten.
"Wenn der Divisor (B) dem Dividend (A) untergeordnet und
von niederer Stufe ist, so ist der Quotient nur partiell be-
stimmt, und zwar findet man, wenn man einen besonderen
Werth (C) des Quotienten kennt, den allgemeinen, indem man
den unbestimmten Ausdruck einer von dem Divisor (B) abhän-
gigen Grösse zu jenem besondern Werth hinzuaddirt, oder es
ist dann
[Formel 1] *)

Auf die Raumlehre übertragen sagt dieser Satz aus, dass er-
stens, wenn zu einem Spathecke (Parallelogramme) die Grundseite
und der Flächenraum (nebst der Ebene, der er angehören soll) ge-
geben ist, dann die andere Seite, die wir Höhenseite genannt ha-
ben, nur partiell bestimmt sei, und dass, wenn ihr Anfangspunkt
fest ist, der Ort ihres Endpunktes eine mit der Grundseite parallele
gerade Linie sei; dass zweitens, wenn zu einem Spathe die Grund-
fläche und der Körperraum gegeben ist, die andere Seite (Höhen-
seite) nur partiell bestimmt sei, und der Ort ihres Endpunktes bei
festem Anfangspunkt eine mit der Grundfläche parallele Ebene sei;
und dass endlich, wenn zu einem Spathe die Höhenseite und der
Körperraum gegeben ist, die Grundfläche partiell bestimmt sei, in-
dem dieselbe als der veränderliche ebene Durchschnitt eines Pris-
mas, dessen Kanten der Höhenseite parallel sind, erscheint. Dies
letztere bedarf eines Nachweises. Ist nämlich eine Grundfläche
als besonderer Werth jenes Quotienten gefunden, d. h. giebt sie
wirklich mit der gegebenen Höhenseite äusserlich multiplicirt den
gegebenen Körperraum, und stellt man sich diese Grundfläche in
Form eines Spathecks vor, so wird man jedes andere Spatheck,
was mit der gegebenen Höhenseite äusserlich multiplicirt dasselbe
Produkt giebt, dadurch aus dem ersten gewinnen, dass man den
Seiten des ersten beliebige mit der Höhenseite parallele Summan-
den hinzufügt, worin dann der ausgesprochene Satz liegt,

§ 63. Aus dem Satze des vorigen § ergiebt sich, dass man
die Gesetze der arithmetischen Division nicht ohne weiteres auf

*) Es ist dies unbestimmte Glied sehr wohl zu vergleichen mit der unbe-
stimmten Konstanten bei der Integration, und das eigenthümliche Verfahren,
welches dadurch herbeigeführt wird, ist hier dasselbe wie dort.
§ 63 Vieldeutigkeit des Quotienten.
„Wenn der Divisor (B) dem Dividend (A) untergeordnet und
von niederer Stufe ist, so ist der Quotient nur partiell be-
stimmt, und zwar findet man, wenn man einen besonderen
Werth (C) des Quotienten kennt, den allgemeinen, indem man
den unbestimmten Ausdruck einer von dem Divisor (B) abhän-
gigen Grösse zu jenem besondern Werth hinzuaddirt, oder es
ist dann
[Formel 1] *)

Auf die Raumlehre übertragen sagt dieser Satz aus, dass er-
stens, wenn zu einem Spathecke (Parallelogramme) die Grundseite
und der Flächenraum (nebst der Ebene, der er angehören soll) ge-
geben ist, dann die andere Seite, die wir Höhenseite genannt ha-
ben, nur partiell bestimmt sei, und dass, wenn ihr Anfangspunkt
fest ist, der Ort ihres Endpunktes eine mit der Grundseite parallele
gerade Linie sei; dass zweitens, wenn zu einem Spathe die Grund-
fläche und der Körperraum gegeben ist, die andere Seite (Höhen-
seite) nur partiell bestimmt sei, und der Ort ihres Endpunktes bei
festem Anfangspunkt eine mit der Grundfläche parallele Ebene sei;
und dass endlich, wenn zu einem Spathe die Höhenseite und der
Körperraum gegeben ist, die Grundfläche partiell bestimmt sei, in-
dem dieselbe als der veränderliche ebene Durchschnitt eines Pris-
mas, dessen Kanten der Höhenseite parallel sind, erscheint. Dies
letztere bedarf eines Nachweises. Ist nämlich eine Grundfläche
als besonderer Werth jenes Quotienten gefunden, d. h. giebt sie
wirklich mit der gegebenen Höhenseite äusserlich multiplicirt den
gegebenen Körperraum, und stellt man sich diese Grundfläche in
Form eines Spathecks vor, so wird man jedes andere Spatheck,
was mit der gegebenen Höhenseite äusserlich multiplicirt dasselbe
Produkt giebt, dadurch aus dem ersten gewinnen, dass man den
Seiten des ersten beliebige mit der Höhenseite parallele Summan-
den hinzufügt, worin dann der ausgesprochene Satz liegt,

§ 63. Aus dem Satze des vorigen § ergiebt sich, dass man
die Gesetze der arithmetischen Division nicht ohne weiteres auf

*) Es ist dies unbestimmte Glied sehr wohl zu vergleichen mit der unbe-
stimmten Konstanten bei der Integration, und das eigenthümliche Verfahren,
welches dadurch herbeigeführt wird, ist hier dasselbe wie dort.
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[93/0129] § 63 Vieldeutigkeit des Quotienten. „Wenn der Divisor (B) dem Dividend (A) untergeordnet und von niederer Stufe ist, so ist der Quotient nur partiell be- stimmt, und zwar findet man, wenn man einen besonderen Werth (C) des Quotienten kennt, den allgemeinen, indem man den unbestimmten Ausdruck einer von dem Divisor (B) abhän- gigen Grösse zu jenem besondern Werth hinzuaddirt, oder es ist dann [FORMEL] *) Auf die Raumlehre übertragen sagt dieser Satz aus, dass er- stens, wenn zu einem Spathecke (Parallelogramme) die Grundseite und der Flächenraum (nebst der Ebene, der er angehören soll) ge- geben ist, dann die andere Seite, die wir Höhenseite genannt ha- ben, nur partiell bestimmt sei, und dass, wenn ihr Anfangspunkt fest ist, der Ort ihres Endpunktes eine mit der Grundseite parallele gerade Linie sei; dass zweitens, wenn zu einem Spathe die Grund- fläche und der Körperraum gegeben ist, die andere Seite (Höhen- seite) nur partiell bestimmt sei, und der Ort ihres Endpunktes bei festem Anfangspunkt eine mit der Grundfläche parallele Ebene sei; und dass endlich, wenn zu einem Spathe die Höhenseite und der Körperraum gegeben ist, die Grundfläche partiell bestimmt sei, in- dem dieselbe als der veränderliche ebene Durchschnitt eines Pris- mas, dessen Kanten der Höhenseite parallel sind, erscheint. Dies letztere bedarf eines Nachweises. Ist nämlich eine Grundfläche als besonderer Werth jenes Quotienten gefunden, d. h. giebt sie wirklich mit der gegebenen Höhenseite äusserlich multiplicirt den gegebenen Körperraum, und stellt man sich diese Grundfläche in Form eines Spathecks vor, so wird man jedes andere Spatheck, was mit der gegebenen Höhenseite äusserlich multiplicirt dasselbe Produkt giebt, dadurch aus dem ersten gewinnen, dass man den Seiten des ersten beliebige mit der Höhenseite parallele Summan- den hinzufügt, worin dann der ausgesprochene Satz liegt, § 63. Aus dem Satze des vorigen § ergiebt sich, dass man die Gesetze der arithmetischen Division nicht ohne weiteres auf *) Es ist dies unbestimmte Glied sehr wohl zu vergleichen mit der unbe- stimmten Konstanten bei der Integration, und das eigenthümliche Verfahren, welches dadurch herbeigeführt wird, ist hier dasselbe wie dort.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 93. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/129>, abgerufen am 25.11.2024.