§ 69. Zu dem Begriffe des Produktes mehrerer Zahlengrössen ge- langen wir vom fortschreitenden Produkte aus. Setzen wir das Produkt
[Formel 1]
.) wo die Ausdehnung P mit den Zahlengrössen a, b, g, .... fort- schreitend, d. h. so multiplicirt werden soll, dass das Resultat je- der früherer Multiplikation mit der nächstfolgenden Zahlengrösse multiplicirt wird: so entsteht die Aufgabe, eine Zahlengrösse zu fin- den, mit welcher P multiplicirt sogleich dasselbe Resultat P1 gebe. Zu dem Ende seien a, b, g, ... dargestellt in den Formen , , ...., so dass P, A, B, C .... alle von einander unabhängig seien. Multiplicirt man dann beide Seiten der obigen Gleichung []) mit A . B . C ..., so kann man nach dem vorigen § die Zahlengrössen a, b, g ... oder , , , ... jedem beliebigen dieser Faktoren zuordnen, also auch dem A u. s. w., und erhält dadurch
[Formel 9]
Also ist, da P1 dem P gleichartig ist, nach der Definition des Quotienten
[Formel 10]
Somit haben wir das Gesetz, dass "
[Formel 11]
" ist, zunächst zwar nur, wenn P von A . B . C ... unabhängig ist, aber demnächst auch, wenn P hiervon abhängig ist. Um dies zu zeigen, stellen wir zuerst die Zahlengrössen a, b, g ... oder die Quotienten .... in neuen Formen ( etc.) dar, so dass P von A.B.G.... unab- hängig ist, so werden wir nun das obige Gesetz anwenden können, und eine Zahlengrösse r erhalten, welche statt der fortschreitenden Fak- toren ,... (oder ....) gesetzt werden kann und welche gleich ist. Nimmt man nun eine Ausdehnung Q zu
Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 69
§ 69. Zu dem Begriffe des Produktes mehrerer Zahlengrössen ge- langen wir vom fortschreitenden Produkte aus. Setzen wir das Produkt
[Formel 1]
.) wo die Ausdehnung P mit den Zahlengrössen α, β, γ, .... fort- schreitend, d. h. so multiplicirt werden soll, dass das Resultat je- der früherer Multiplikation mit der nächstfolgenden Zahlengrösse multiplicirt wird: so entsteht die Aufgabe, eine Zahlengrösse zu fin- den, mit welcher P multiplicirt sogleich dasselbe Resultat P1 gebe. Zu dem Ende seien α, β, γ, ... dargestellt in den Formen , , ...., so dass P, A, B, C .... alle von einander unabhängig seien. Multiplicirt man dann beide Seiten der obigen Gleichung [̇]) mit A . B . C ..., so kann man nach dem vorigen § die Zahlengrössen α, β, γ ... oder , , , ... jedem beliebigen dieser Faktoren zuordnen, also auch dem A u. s. w., und erhält dadurch
[Formel 9]
Also ist, da P1 dem P gleichartig ist, nach der Definition des Quotienten
[Formel 10]
Somit haben wir das Gesetz, dass „
[Formel 11]
“ ist, zunächst zwar nur, wenn P von A . B . C ... unabhängig ist, aber demnächst auch, wenn P hiervon abhängig ist. Um dies zu zeigen, stellen wir zuerst die Zahlengrössen α, β, γ ... oder die Quotienten .... in neuen Formen ( etc.) dar, so dass P von A.B.Γ.... unab- hängig ist, so werden wir nun das obige Gesetz anwenden können, und eine Zahlengrösse ρ erhalten, welche statt der fortschreitenden Fak- toren ,... (oder ....) gesetzt werden kann und welche gleich ist. Nimmt man nun eine Ausdehnung Q zu
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Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 69
§ 69. Zu dem Begriffe des Produktes mehrerer Zahlengrössen ge-
langen wir vom fortschreitenden Produkte aus. Setzen wir das Produkt
[FORMEL] .)
wo die Ausdehnung P mit den Zahlengrössen α, β, γ, .... fort-
schreitend, d. h. so multiplicirt werden soll, dass das Resultat je-
der früherer Multiplikation mit der nächstfolgenden Zahlengrösse
multiplicirt wird: so entsteht die Aufgabe, eine Zahlengrösse zu fin-
den, mit welcher P multiplicirt sogleich dasselbe Resultat P1 gebe.
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[FORMEL] ...., so dass P, A, B, C .... alle von einander unabhängig seien.
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α, β, γ ... oder [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL], ... jedem beliebigen dieser Faktoren
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[FORMEL]
Also ist, da P1 dem P gleichartig ist, nach der Definition des
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[FORMEL] Somit haben wir das Gesetz, dass
„[FORMEL]“
ist, zunächst zwar nur, wenn P von A . B . C ... unabhängig ist, aber
demnächst auch, wenn P hiervon abhängig ist. Um dies zu zeigen,
stellen wir zuerst die Zahlengrössen α, β, γ ... oder die Quotienten
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hängig ist, so werden wir nun das obige Gesetz anwenden können, und
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toren [FORMEL],... (oder [FORMEL] ....) gesetzt werden kann und welche gleich
[FORMEL] ist. Nimmt man nun eine Ausdehnung Q zu
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 104. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/140>, abgerufen am 23.11.2024.
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