Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 76 Proportion in der Geometrie. war, daraus hervorging, dass(a1 + b1) . (a + b) = 0*) d. h. beide Summen (a + b) und (a1 + b1) parallel waren, und ebenso würde aus der letzten Gleichung die erste folgen; und es ist also gleichgültig, von welcher der beiden Gleichungen wir die Gültigkeit der Proportion a1 : a = b1 : b abhängig machen. Wir wollen die zweite Betrachtungsweise als die geometrische einfachere wählen und können dieselbe so ausdrücken: Wenn zwei Dreiecke parallele Seiten haben, so sagen wir, dass zwei beliebige parallele Seiten beider sich verhalten, wie zwei andere in entsprechender Folge genommen; denn wenn a und b zwei Seiten des einen, und a1 und b1 die damit parallelen Seiten des andern sind, so sind eben dann und nur dann a + b und a1 + b1 einander parallel. Hierbei ist wohl zu beachten, dass auf dieser Stufe vier Strecken, als Strecken d. h. mit festgehaltener Länge und Richtung aufgefasst, nur dann als proportionirt erscheinen, wenn sie paarweise parallel sind, und diese parallelen Strecken stellen wir dann in der Proportion auf die beiden ersten und auf die bei- den letzten Stellen. § 76. Der eigentliche Nerv der Entwickelung beruht nun darin, *) Die Formeln sind hier nur Repräsentanten geometrischer Sätze, die ein jeder leicht aus denselben herauslesen kann, s. Fig. 12, a. **) S. Fig. 12, b.
§ 76 Proportion in der Geometrie. war, daraus hervorging, dass(a1 + b1) . (a + b) = 0*) d. h. beide Summen (a + b) und (a1 + b1) parallel waren, und ebenso würde aus der letzten Gleichung die erste folgen; und es ist also gleichgültig, von welcher der beiden Gleichungen wir die Gültigkeit der Proportion a1 : a = b1 : b abhängig machen. Wir wollen die zweite Betrachtungsweise als die geometrische einfachere wählen und können dieselbe so ausdrücken: Wenn zwei Dreiecke parallele Seiten haben, so sagen wir, dass zwei beliebige parallele Seiten beider sich verhalten, wie zwei andere in entsprechender Folge genommen; denn wenn a und b zwei Seiten des einen, und a1 und b1 die damit parallelen Seiten des andern sind, so sind eben dann und nur dann a + b und a1 + b1 einander parallel. Hierbei ist wohl zu beachten, dass auf dieser Stufe vier Strecken, als Strecken d. h. mit festgehaltener Länge und Richtung aufgefasst, nur dann als proportionirt erscheinen, wenn sie paarweise parallel sind, und diese parallelen Strecken stellen wir dann in der Proportion auf die beiden ersten und auf die bei- den letzten Stellen. § 76. Der eigentliche Nerv der Entwickelung beruht nun darin, *) Die Formeln sind hier nur Repräsentanten geometrischer Sätze, die ein jeder leicht aus denselben herauslesen kann, s. Fig. 12, a. **) S. Fig. 12, b.
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§ 76 Proportion in der Geometrie.
war, daraus hervorging, dass
(a1 + b1) . (a + b) = 0 *)
d. h. beide Summen (a + b) und (a1 + b1) parallel waren, und
ebenso würde aus der letzten Gleichung die erste folgen; und es
ist also gleichgültig, von welcher der beiden Gleichungen wir die
Gültigkeit der Proportion
a1 : a = b1 : b
abhängig machen. Wir wollen die zweite Betrachtungsweise als die
geometrische einfachere wählen und können dieselbe so ausdrücken:
Wenn zwei Dreiecke parallele Seiten haben, so sagen wir, dass zwei
beliebige parallele Seiten beider sich verhalten, wie zwei andere in
entsprechender Folge genommen; denn wenn a und b zwei Seiten
des einen, und a1 und b1 die damit parallelen Seiten des andern
sind, so sind eben dann und nur dann a + b und a1 + b1 einander
parallel. Hierbei ist wohl zu beachten, dass auf dieser Stufe
vier Strecken, als Strecken d. h. mit festgehaltener Länge und
Richtung aufgefasst, nur dann als proportionirt erscheinen, wenn
sie paarweise parallel sind, und diese parallelen Strecken stellen
wir dann in der Proportion auf die beiden ersten und auf die bei-
den letzten Stellen.
§ 76. Der eigentliche Nerv der Entwickelung beruht nun darin,
die Proportion als Gleichheit zweier Verhältnisse nachzuweisen, so
dass, wenn
a : a1 = b : b1, und
a : a1 = c : c1
ist, auch
b : b1 = c : c1
sei. Um den geometrischen Ansdruck dieses Satzes zu finden,
setzen wir **)
a = AB, a1 = AC
b = BD, b1 = CE;
dann würden, wenn die erste Proportion bestehen soll, die Punkte
A, D, E eine gerade Linie bilden müssen, weil a + b, d. h. (AD)
parallel sein soll, a1 + b1, d. h. AE, ebenso sei
*) Die Formeln sind hier nur Repräsentanten geometrischer Sätze, die ein
jeder leicht aus denselben herauslesen kann, s. Fig. 12, a.
**) S. Fig. 12, b.
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