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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 81 Ableitung neuer Gleichungen durch Multipl.
die Auflösung und Umgestaltung der Gleichungen, welche zwischen
solchen Grössen statt finden können, anzuwenden. Da die Glieder
auf beiden Seiten einer Gleichung als zu addirende oder zu sub-
trahirende alle von gleicher Stufe sein müssen, so können wir der
Gleichung selbst diese Stufenzahl beilegen, und also unter einer
Gleichung n-ter Stufe eine solche verstehen, deren Glieder von
n-ter Stufe sind. Zunächst haben wir uns nun die Frage zu stel-
len, was für Umgestaltungen wir mit solchen Gleichungen vorneh-
men dürfen, oder wie wir andere Gleichungen daraus ableiten kön-
nen. Dass man die Glieder derselben mit Aenderung der Vorzei-
chen von einer Seite auf die andere bringen kann, ist klar, und es
fragt sich also nur noch nach den Umgestaltungen, welche eine
Gleichung durch Multiplikation und Division erleiden kann. Dabei
wollen wir annehmen, dass alle Glieder auf dieselbe (linke) Seite
gebracht seien, und also die andere (rechte) Seite gleich Null ist.
Nun ist klar, dass, wenn man beide Seiten der Gleichung mit
einer und derselben Ausdehnungsgrösse multiplicirt, dann die rechte
Seite null bleibt, auf der linken aber statt der ganzen Summe die
einzelnen Glieder multiplicirt werden können. Man kann also, in-
dem man alle Glieder einer Gleichung jedesmal mit derselben Aus-
dehnungsgrösse multiplicirt, eine Reihe neuer Gleichungen aus
derselben ableiten, welche im Allgemeinen (wenn der hinzutretende
Faktor nicht etwa von nullter Stufe ist) von höherer Stufe sind als
die gegebene. Ist die gegebene Gleichung von m-ter Stufe, und
ist das System, welchem alle Glieder angehören, und welches wir
das Hauptsystem der Gleichung nennen, von n-ter Stufe, so
kann man insbesondere jene Gleichung mit einer Ausdehnung von
ergänzender d. h. von (n-m)ter Stufe, welche gleichfalls dem
Hauptsysteme angehört, multipliciren, und erhält dadurch eine Glei-
chung von n-ter Stufe, deren Glieder alle einander gleichartig sind.
Hiernach kann man also aus jeder Gleichung, deren Glieder un-
gleichartig sind, insbesondere eine Reihe von Gleichungen ableiten,
deren jede lauter gleichartige Glieder enthält.

§ 81. Obgleich man nun aus einer Gleichung beliebig viele
Gleichungen höherer Stufen ableiten kann, so kann man doch nicht
umgekehrt aus einer der letzteren die ursprüngliche Gleichung her-
stellen. In der That, wenn man aus der ursprünglichen Gleichung

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§ 81 Ableitung neuer Gleichungen durch Multipl.
die Auflösung und Umgestaltung der Gleichungen, welche zwischen
solchen Grössen statt finden können, anzuwenden. Da die Glieder
auf beiden Seiten einer Gleichung als zu addirende oder zu sub-
trahirende alle von gleicher Stufe sein müssen, so können wir der
Gleichung selbst diese Stufenzahl beilegen, und also unter einer
Gleichung n-ter Stufe eine solche verstehen, deren Glieder von
n-ter Stufe sind. Zunächst haben wir uns nun die Frage zu stel-
len, was für Umgestaltungen wir mit solchen Gleichungen vorneh-
men dürfen, oder wie wir andere Gleichungen daraus ableiten kön-
nen. Dass man die Glieder derselben mit Aenderung der Vorzei-
chen von einer Seite auf die andere bringen kann, ist klar, und es
fragt sich also nur noch nach den Umgestaltungen, welche eine
Gleichung durch Multiplikation und Division erleiden kann. Dabei
wollen wir annehmen, dass alle Glieder auf dieselbe (linke) Seite
gebracht seien, und also die andere (rechte) Seite gleich Null ist.
Nun ist klar, dass, wenn man beide Seiten der Gleichung mit
einer und derselben Ausdehnungsgrösse multiplicirt, dann die rechte
Seite null bleibt, auf der linken aber statt der ganzen Summe die
einzelnen Glieder multiplicirt werden können. Man kann also, in-
dem man alle Glieder einer Gleichung jedesmal mit derselben Aus-
dehnungsgrösse multiplicirt, eine Reihe neuer Gleichungen aus
derselben ableiten, welche im Allgemeinen (wenn der hinzutretende
Faktor nicht etwa von nullter Stufe ist) von höherer Stufe sind als
die gegebene. Ist die gegebene Gleichung von m-ter Stufe, und
ist das System, welchem alle Glieder angehören, und welches wir
das Hauptsystem der Gleichung nennen, von n-ter Stufe, so
kann man insbesondere jene Gleichung mit einer Ausdehnung von
ergänzender d. h. von (n-m)ter Stufe, welche gleichfalls dem
Hauptsysteme angehört, multipliciren, und erhält dadurch eine Glei-
chung von n-ter Stufe, deren Glieder alle einander gleichartig sind.
Hiernach kann man also aus jeder Gleichung, deren Glieder un-
gleichartig sind, insbesondere eine Reihe von Gleichungen ableiten,
deren jede lauter gleichartige Glieder enthält.

§ 81. Obgleich man nun aus einer Gleichung beliebig viele
Gleichungen höherer Stufen ableiten kann, so kann man doch nicht
umgekehrt aus einer der letzteren die ursprüngliche Gleichung her-
stellen. In der That, wenn man aus der ursprünglichen Gleichung

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[115/0151] § 81 Ableitung neuer Gleichungen durch Multipl. die Auflösung und Umgestaltung der Gleichungen, welche zwischen solchen Grössen statt finden können, anzuwenden. Da die Glieder auf beiden Seiten einer Gleichung als zu addirende oder zu sub- trahirende alle von gleicher Stufe sein müssen, so können wir der Gleichung selbst diese Stufenzahl beilegen, und also unter einer Gleichung n-ter Stufe eine solche verstehen, deren Glieder von n-ter Stufe sind. Zunächst haben wir uns nun die Frage zu stel- len, was für Umgestaltungen wir mit solchen Gleichungen vorneh- men dürfen, oder wie wir andere Gleichungen daraus ableiten kön- nen. Dass man die Glieder derselben mit Aenderung der Vorzei- chen von einer Seite auf die andere bringen kann, ist klar, und es fragt sich also nur noch nach den Umgestaltungen, welche eine Gleichung durch Multiplikation und Division erleiden kann. Dabei wollen wir annehmen, dass alle Glieder auf dieselbe (linke) Seite gebracht seien, und also die andere (rechte) Seite gleich Null ist. Nun ist klar, dass, wenn man beide Seiten der Gleichung mit einer und derselben Ausdehnungsgrösse multiplicirt, dann die rechte Seite null bleibt, auf der linken aber statt der ganzen Summe die einzelnen Glieder multiplicirt werden können. Man kann also, in- dem man alle Glieder einer Gleichung jedesmal mit derselben Aus- dehnungsgrösse multiplicirt, eine Reihe neuer Gleichungen aus derselben ableiten, welche im Allgemeinen (wenn der hinzutretende Faktor nicht etwa von nullter Stufe ist) von höherer Stufe sind als die gegebene. Ist die gegebene Gleichung von m-ter Stufe, und ist das System, welchem alle Glieder angehören, und welches wir das Hauptsystem der Gleichung nennen, von n-ter Stufe, so kann man insbesondere jene Gleichung mit einer Ausdehnung von ergänzender d. h. von (n-m)ter Stufe, welche gleichfalls dem Hauptsysteme angehört, multipliciren, und erhält dadurch eine Glei- chung von n-ter Stufe, deren Glieder alle einander gleichartig sind. Hiernach kann man also aus jeder Gleichung, deren Glieder un- gleichartig sind, insbesondere eine Reihe von Gleichungen ableiten, deren jede lauter gleichartige Glieder enthält. § 81. Obgleich man nun aus einer Gleichung beliebig viele Gleichungen höherer Stufen ableiten kann, so kann man doch nicht umgekehrt aus einer der letzteren die ursprüngliche Gleichung her- stellen. In der That, wenn man aus der ursprünglichen Gleichung 8*

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 115. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/151>, abgerufen am 21.11.2024.