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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Gleichungen. -- Projektion. § 83
"Eine Gleichung bleibt als solche bestehen, wenn man alle
ihre Glieder in demselben Sinne abschattet (projicirt);"
oder auch, wenn man Ein Glied auf die eine Seite allein geschafft
denkt,
"die Abschattung (Projektion) einer Summe ist gleich der
Summe aus den Abschattungen der Stücke."*)

§ 83. Um der Betrachtungsweise eine grössere Anschaulich-
keit zu gehen, haben wir zu untersuchen, wann die Abschattung
null, und wann sie unmöglich wird. Soll die Abschattung A' null
werden, so muss auch, da
A' . L = A . L
ist, das Produkt A . L null, d. h. A von L abhängig sein; aber auch
umgekehrt, herrscht diese Abhängigkeit, so muss, weil das System,
dem jeder geltende Werth von A' angehören soll, von L unabhängig
ist, also das Produkt A'. L nicht gleich null machen kann, A' selbst
null sein. Also ist die Abschattung dann, aber auch nur dann null,
wenn die abgeschattete Grösse vom Leitsystem abhängig ist. Da
endlich jede dem Systeme G angehörige Grösse, mit L multiplicirt,
dem Systeme G . L angehören muss, so wird A' . L, also auch das
ihm Gleiche A . L, nothwendig dem Systeme G . L angehören, wenn
die Abschattung möglich sein soll; wobei der Nullwerth, wie immer,
als jedem beliebigen Systeme angehörig und von ihm abhängig be-
trachtet wird. Aber auch umgekehrt, wenn A . L dem Systeme
G . L angehört, so ist die Abschattung allemal möglich; denn wenn
A. L nicht null ist, und es dem Systeme G . L angehört, so müssen
die einfachen Faktoren von A . L sich als Summen von Stücken dar-
stellen lassen, welche denen von G . L gleichartig sind; also muss
dann namentlich A sich auf diese Weise darstellen lassen; aber
diejenigen Stücke, welche mit den Faktoren von L gleichartig sind,
kann man, ohne den Werth des Produktes A . L zu ändern, weg-
lassen; thut man dies, und nennt die so gewonnene Grösse, welche
nun statt A eintritt, A', so sind die Faktoren von A' nur von G ab-
hängig, A' gehört also zugleich dem Systeme G an, ist also die Ab-

*) Ich ziehe in dem Ausdruck der Sätze den Namen Abschattung vor, weil
in dieser Form die Sätze allgemein sind, und auch für die später zu entwickeln-
den Grössen bestehen bleiben.

Gleichungen. — Projektion. § 83
„Eine Gleichung bleibt als solche bestehen, wenn man alle
ihre Glieder in demselben Sinne abschattet (projicirt);“
oder auch, wenn man Ein Glied auf die eine Seite allein geschafft
denkt,
„die Abschattung (Projektion) einer Summe ist gleich der
Summe aus den Abschattungen der Stücke.“*)

§ 83. Um der Betrachtungsweise eine grössere Anschaulich-
keit zu gehen, haben wir zu untersuchen, wann die Abschattung
null, und wann sie unmöglich wird. Soll die Abschattung A′ null
werden, so muss auch, da
A′ . L = A . L
ist, das Produkt A . L null, d. h. A von L abhängig sein; aber auch
umgekehrt, herrscht diese Abhängigkeit, so muss, weil das System,
dem jeder geltende Werth von A′ angehören soll, von L unabhängig
ist, also das Produkt A′. L nicht gleich null machen kann, A′ selbst
null sein. Also ist die Abschattung dann, aber auch nur dann null,
wenn die abgeschattete Grösse vom Leitsystem abhängig ist. Da
endlich jede dem Systeme G angehörige Grösse, mit L multiplicirt,
dem Systeme G . L angehören muss, so wird A′ . L, also auch das
ihm Gleiche A . L, nothwendig dem Systeme G . L angehören, wenn
die Abschattung möglich sein soll; wobei der Nullwerth, wie immer,
als jedem beliebigen Systeme angehörig und von ihm abhängig be-
trachtet wird. Aber auch umgekehrt, wenn A . L dem Systeme
G . L angehört, so ist die Abschattung allemal möglich; denn wenn
A. L nicht null ist, und es dem Systeme G . L angehört, so müssen
die einfachen Faktoren von A . L sich als Summen von Stücken dar-
stellen lassen, welche denen von G . L gleichartig sind; also muss
dann namentlich A sich auf diese Weise darstellen lassen; aber
diejenigen Stücke, welche mit den Faktoren von L gleichartig sind,
kann man, ohne den Werth des Produktes A . L zu ändern, weg-
lassen; thut man dies, und nennt die so gewonnene Grösse, welche
nun statt A eintritt, A′, so sind die Faktoren von A′ nur von G ab-
hängig, A′ gehört also zugleich dem Systeme G an, ist also die Ab-

*) Ich ziehe in dem Ausdruck der Sätze den Namen Abschattung vor, weil
in dieser Form die Sätze allgemein sind, und auch für die später zu entwickeln-
den Grössen bestehen bleiben.
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[118/0154] Gleichungen. — Projektion. § 83 „Eine Gleichung bleibt als solche bestehen, wenn man alle ihre Glieder in demselben Sinne abschattet (projicirt);“ oder auch, wenn man Ein Glied auf die eine Seite allein geschafft denkt, „die Abschattung (Projektion) einer Summe ist gleich der Summe aus den Abschattungen der Stücke.“ *) § 83. Um der Betrachtungsweise eine grössere Anschaulich- keit zu gehen, haben wir zu untersuchen, wann die Abschattung null, und wann sie unmöglich wird. Soll die Abschattung A′ null werden, so muss auch, da A′ . L = A . L ist, das Produkt A . L null, d. h. A von L abhängig sein; aber auch umgekehrt, herrscht diese Abhängigkeit, so muss, weil das System, dem jeder geltende Werth von A′ angehören soll, von L unabhängig ist, also das Produkt A′. L nicht gleich null machen kann, A′ selbst null sein. Also ist die Abschattung dann, aber auch nur dann null, wenn die abgeschattete Grösse vom Leitsystem abhängig ist. Da endlich jede dem Systeme G angehörige Grösse, mit L multiplicirt, dem Systeme G . L angehören muss, so wird A′ . L, also auch das ihm Gleiche A . L, nothwendig dem Systeme G . L angehören, wenn die Abschattung möglich sein soll; wobei der Nullwerth, wie immer, als jedem beliebigen Systeme angehörig und von ihm abhängig be- trachtet wird. Aber auch umgekehrt, wenn A . L dem Systeme G . L angehört, so ist die Abschattung allemal möglich; denn wenn A. L nicht null ist, und es dem Systeme G . L angehört, so müssen die einfachen Faktoren von A . L sich als Summen von Stücken dar- stellen lassen, welche denen von G . L gleichartig sind; also muss dann namentlich A sich auf diese Weise darstellen lassen; aber diejenigen Stücke, welche mit den Faktoren von L gleichartig sind, kann man, ohne den Werth des Produktes A . L zu ändern, weg- lassen; thut man dies, und nennt die so gewonnene Grösse, welche nun statt A eintritt, A′, so sind die Faktoren von A′ nur von G ab- hängig, A′ gehört also zugleich dem Systeme G an, ist also die Ab- *) Ich ziehe in dem Ausdruck der Sätze den Namen Abschattung vor, weil in dieser Form die Sätze allgemein sind, und auch für die später zu entwickeln- den Grössen bestehen bleiben.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 118. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/154>, abgerufen am 24.11.2024.