§ 107 Die Strecke als Produkt. -- Elementarsysteme.
für die fragliche Verknüpfung von r mit einer Elementargrösse, so- wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak- toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be- trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [rr] null ist, und [ra] gleich -- [ar], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.
§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus- seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab- hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen- summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h. keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab- hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig sind. Sind nun a, b, g .... die n von einander unabhängigen Ele- mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente, r und s, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge- genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte null, und man erhält daher r -- s in der Form dargestellt: r -- s = aa + bb + cg + ....., wo zugleich a + b + c + .... = 0 ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in- dem man diesen Werth in die erste einführt, r -- s = b (b--a) + c (g--a) + ....., d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen- tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n--1) Stre- cken darstellbar, welche von einem der n Elemente, die das System bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede Strecke, die sich als Vielfachensumme dieser (n--1) Strecken dar-
§ 107 Die Strecke als Produkt. — Elementarsysteme.
für die fragliche Verknüpfung von ρ mit einer Elementargrösse, so- wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak- toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be- trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [ρρ] null ist, und [ρα] gleich — [αρ], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.
§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus- seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab- hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen- summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h. keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab- hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig sind. Sind nun α, β, γ .... die n von einander unabhängigen Ele- mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente, ρ und σ, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge- genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte null, und man erhält daher ρ — σ in der Form dargestellt: ρ — σ = aα + bβ + cγ + ....., wo zugleich a + b + c + .... = 0 ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in- dem man diesen Werth in die erste einführt, ρ — σ = b (β—α) + c (γ—α) + ....., d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen- tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n—1) Stre- cken darstellbar, welche von einem der n Elemente, die das System bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede Strecke, die sich als Vielfachensumme dieser (n—1) Strecken dar-
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0185"n="149"/><fwplace="top"type="header">§ 107 Die Strecke als Produkt. — Elementarsysteme.</fw><lb/>
für die fragliche Verknüpfung von ρ mit einer Elementargrösse, so-<lb/>
wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak-<lb/>
toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be-<lb/>
trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [ρρ] null ist, und [ρα] gleich<lb/>— [αρ], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.</p><lb/><p>§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus-<lb/>
seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den<lb/>
Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet<lb/>
sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der<lb/>
Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab-<lb/>
hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen-<lb/>
summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere<lb/>
Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen<lb/>
keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h.<lb/>
keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen<lb/>
lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter<lb/>
Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab-<lb/>
hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig<lb/>
sind. Sind nun α, β, γ .... die n von einander unabhängigen Ele-<lb/>
mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente,<lb/>ρ und σ, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme<lb/>
jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge-<lb/>
genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte<lb/>
null, und man erhält daher ρ—σ in der Form dargestellt:<lb/><hirendition="#c">ρ—σ = <hirendition="#fr">a</hi>α + <hirendition="#fr">b</hi>β + <hirendition="#fr">c</hi>γ + .....,</hi><lb/>
wo zugleich<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#fr">a + b + c</hi> + .... = 0</hi><lb/>
ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen<lb/>
der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in-<lb/>
dem man diesen Werth in die erste einführt,<lb/><hirendition="#c">ρ—σ = <hirendition="#fr">b</hi> (β—α) + <hirendition="#fr">c</hi> (γ—α) + .....,</hi><lb/>
d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen-<lb/>
tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n—1) Stre-<lb/>
cken darstellbar, welche von einem der n Elemente, die das System<lb/>
bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede<lb/>
Strecke, die sich als Vielfachensumme dieser (n—1) Strecken dar-<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[149/0185]
§ 107 Die Strecke als Produkt. — Elementarsysteme.
für die fragliche Verknüpfung von ρ mit einer Elementargrösse, so-
wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak-
toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be-
trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [ρρ] null ist, und [ρα] gleich
— [αρ], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.
§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus-
seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den
Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet
sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der
Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab-
hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen-
summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere
Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen
keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h.
keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen
lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter
Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab-
hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig
sind. Sind nun α, β, γ .... die n von einander unabhängigen Ele-
mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente,
ρ und σ, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme
jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge-
genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte
null, und man erhält daher ρ — σ in der Form dargestellt:
ρ — σ = aα + bβ + cγ + .....,
wo zugleich
a + b + c + .... = 0
ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen
der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in-
dem man diesen Werth in die erste einführt,
ρ — σ = b (β—α) + c (γ—α) + .....,
d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen-
tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n—1) Stre-
cken darstellbar, welche von einem der n Elemente, die das System
bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede
Strecke, die sich als Vielfachensumme dieser (n—1) Strecken dar-
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 149. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/185>, abgerufen am 21.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
