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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 131 Worin der Werth des eingewandten Produktes besteht.
das letztere auf die Form bringen, dass der mittlere Faktor der-
selbe sei, wie in dem ersten Produkte, wodurch dann auch das Pro-
dukt der beiden äusseren in beiden gleichen Werth erhalten wird.
Es sei dann das letztere Produkt übergegangen in A1 . CD1, so ha-
ben wir nun die einfachere Voraussetzung, dass
[Formel 1] ist, und A und A1 ebenso wie D und D1 von gleicher Stufe sind;
und zu beweisen bleibt dann nur, dass
[Formel 2] sei. Zwei gleiche äussere Produkte, deren entsprechende Faktoren
gleiche Stufenzahlen haben, (wie hier AD und A1D1) müssen aber
durch eine Reihe von Formänderungen aus einander erzeugbar sein,
welche theils darin bestehen, dass die Faktoren sich in umgekehr-
tem Verhältnisse ändern, theils darin, dass der eine Faktor um ein
von dem andern abhängiges Stück wächst. Bei der ersten Aende-
rungsart ist unmittelbar einleuchtend, dass sich auch der Werth des
eingewandten Produktes A . CD nicht ändere. Bei der letzten kann
entweder D um ein von A abhängiges Stück, oder A um ein von D
abhängiges wachsen. Geht also zuerst D in D + E über, wo E von
A abhängig ist, so geht A . CD in A . C (D + E) oder in A . (CD + CE)
über. Da hier E von A abhängig, C aber dem A untergeordnet,
also im c-ten Grade von ihm abhängig ist, so ist CE in einem hö-
heren als dem c-ten Grade von A abhängig, kann also als Stück
des andern Faktors weggelassen werden, es ist also der Werth des
Produktes noch derselbe geblieben. Zweitens konnte der Faktor A
um ein von D abhängiges Stück wachsen. Es sei A gleich CF, so
muss nun, wenn C noch immer, wie wir voraussetzten, das gemein-
schaftliche System darstellen soll, das Wachsen des Faktors A um
ein von D abhängiges Stück dadurch bewirkt werden, dass F um
ein von D abhängiges Stück wächst; dies wird dann, aus demselben
Grunde, wie vorher der Zuwuchs von D, den Werth des ganzen Pro-
duktes ungeändert lassen. Somit sehen wir, dass bei allen Aende-
rungen, welche den Werth des mittleren Faktors und den des Pro-
duktes der beiden äusseren ungeändert lassen, auch der Werth des
gesammten Produktes ungeändert bleibt; oder, indem wir noch ei-
nen Schritt weiter zurückgehen, dass, wenn sich jene Grössen C

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§ 131 Worin der Werth des eingewandten Produktes besteht.
das letztere auf die Form bringen, dass der mittlere Faktor der-
selbe sei, wie in dem ersten Produkte, wodurch dann auch das Pro-
dukt der beiden äusseren in beiden gleichen Werth erhalten wird.
Es sei dann das letztere Produkt übergegangen in A1 . CD1, so ha-
ben wir nun die einfachere Voraussetzung, dass
[Formel 1] ist, und A und A1 ebenso wie D und D1 von gleicher Stufe sind;
und zu beweisen bleibt dann nur, dass
[Formel 2] sei. Zwei gleiche äussere Produkte, deren entsprechende Faktoren
gleiche Stufenzahlen haben, (wie hier AD und A1D1) müssen aber
durch eine Reihe von Formänderungen aus einander erzeugbar sein,
welche theils darin bestehen, dass die Faktoren sich in umgekehr-
tem Verhältnisse ändern, theils darin, dass der eine Faktor um ein
von dem andern abhängiges Stück wächst. Bei der ersten Aende-
rungsart ist unmittelbar einleuchtend, dass sich auch der Werth des
eingewandten Produktes A . CD nicht ändere. Bei der letzten kann
entweder D um ein von A abhängiges Stück, oder A um ein von D
abhängiges wachsen. Geht also zuerst D in D + E über, wo E von
A abhängig ist, so geht A . CD in A . C (D + E) oder in A . (CD + CE)
über. Da hier E von A abhängig, C aber dem A untergeordnet,
also im c-ten Grade von ihm abhängig ist, so ist CE in einem hö-
heren als dem c-ten Grade von A abhängig, kann also als Stück
des andern Faktors weggelassen werden, es ist also der Werth des
Produktes noch derselbe geblieben. Zweitens konnte der Faktor A
um ein von D abhängiges Stück wachsen. Es sei A gleich CF, so
muss nun, wenn C noch immer, wie wir voraussetzten, das gemein-
schaftliche System darstellen soll, das Wachsen des Faktors A um
ein von D abhängiges Stück dadurch bewirkt werden, dass F um
ein von D abhängiges Stück wächst; dies wird dann, aus demselben
Grunde, wie vorher der Zuwuchs von D, den Werth des ganzen Pro-
duktes ungeändert lassen. Somit sehen wir, dass bei allen Aende-
rungen, welche den Werth des mittleren Faktors und den des Pro-
duktes der beiden äusseren ungeändert lassen, auch der Werth des
gesammten Produktes ungeändert bleibt; oder, indem wir noch ei-
nen Schritt weiter zurückgehen, dass, wenn sich jene Grössen C

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[193/0229] § 131 Worin der Werth des eingewandten Produktes besteht. das letztere auf die Form bringen, dass der mittlere Faktor der- selbe sei, wie in dem ersten Produkte, wodurch dann auch das Pro- dukt der beiden äusseren in beiden gleichen Werth erhalten wird. Es sei dann das letztere Produkt übergegangen in A1 . CD1, so ha- ben wir nun die einfachere Voraussetzung, dass [FORMEL] ist, und A und A1 ebenso wie D und D1 von gleicher Stufe sind; und zu beweisen bleibt dann nur, dass [FORMEL] sei. Zwei gleiche äussere Produkte, deren entsprechende Faktoren gleiche Stufenzahlen haben, (wie hier AD und A1D1) müssen aber durch eine Reihe von Formänderungen aus einander erzeugbar sein, welche theils darin bestehen, dass die Faktoren sich in umgekehr- tem Verhältnisse ändern, theils darin, dass der eine Faktor um ein von dem andern abhängiges Stück wächst. Bei der ersten Aende- rungsart ist unmittelbar einleuchtend, dass sich auch der Werth des eingewandten Produktes A . CD nicht ändere. Bei der letzten kann entweder D um ein von A abhängiges Stück, oder A um ein von D abhängiges wachsen. Geht also zuerst D in D + E über, wo E von A abhängig ist, so geht A . CD in A . C (D + E) oder in A . (CD + CE) über. Da hier E von A abhängig, C aber dem A untergeordnet, also im c-ten Grade von ihm abhängig ist, so ist CE in einem hö- heren als dem c-ten Grade von A abhängig, kann also als Stück des andern Faktors weggelassen werden, es ist also der Werth des Produktes noch derselbe geblieben. Zweitens konnte der Faktor A um ein von D abhängiges Stück wachsen. Es sei A gleich CF, so muss nun, wenn C noch immer, wie wir voraussetzten, das gemein- schaftliche System darstellen soll, das Wachsen des Faktors A um ein von D abhängiges Stück dadurch bewirkt werden, dass F um ein von D abhängiges Stück wächst; dies wird dann, aus demselben Grunde, wie vorher der Zuwuchs von D, den Werth des ganzen Pro- duktes ungeändert lassen. Somit sehen wir, dass bei allen Aende- rungen, welche den Werth des mittleren Faktors und den des Pro- duktes der beiden äusseren ungeändert lassen, auch der Werth des gesammten Produktes ungeändert bleibt; oder, indem wir noch ei- nen Schritt weiter zurückgehen, dass, wenn sich jene Grössen C 13

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 193. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/229>, abgerufen am 20.05.2024.