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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 133 Der eigenthüml. Werth eines Pr. in Bezug auf ein Hauptmass.
Kap. IV) durch äussere Multiplikation verknüpft ist, während C noch
das gemeinschaftliche System darstellt. In dieser Form aufgefasst
bietet der zweite Ausdruck dasselbe Produkt der äussersten Fakto-
ren und denselben mittleren Faktor dar, wie das erste, und beide
sind somit einander gleich.

Noch habe ich hier daran zu erinnern, dass, wenn das Pro-
dukt der äussersten Faktoren von niederer Stufe ist als das Be-
ziehungssystem, dann beide Produkte gleichzeitig null werden (nach
§ 127), also auch für diesen Fall ihre Gleichheit bewahrt bleibt.
Nehmen wir endlich einen bestimmten Theil H des Hauptsystems
als Hauptmass (§ 87) an, so können wir jedes auf jenes Hauptsy-
stem bezügliche eingewandte Produkt auf die Form bringen, dass
der erste Faktor das Hauptmass wird. Nämlich wir können nach
dem vorher gesagten jedes solche Produkt, wenn es einen gelten-
den Werth hat, auf die Form bringen, dass der erste Faktor das
Beziehungssystem oder hier das Hauptsystem darstellt, also auch,
da wir die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse ändern können,
auf die Form, dass der erste Faktor irgend ein bestimmter Theil
des Hauptsystems, also auch dass er das Hauptmass wird. Ist das
eingewandte Produkt null, so können wir den ersten Faktor belie-
big setzen, wenn nur der zweite null ist, also kann auch in diesem
Falle das Produkt auf die verlangte Form gebracht werden. Wir
nennen dann, wenn ein Produkt auf diese Form gebracht ist, den
zweiten Faktor desselben "den eigenthümlichen (specifischen) Werth
oder Faktor jener Produktgrösse in Bezug auf das Hauptmass H,"
und sein System, welches zugleich das beiden Faktoren gemein-
schaftliche System ist, "das eigenthümliche System jener Grösse;"
seine Stufenzahl, d. h. die Stufenzahl des beiden Faktoren gemein-
schaftlichen Systems *), können wir als Stufenzahl der Grösse selbst
auffassen. Erst bei dieser Betrachtungsweise tritt der Werth des
eingewandten Produktes in seiner ganzen Einfachheit hervor.

§ 133. Aus dem im vorhergehenden Paragraphen aufgestell-
ten Begriffe des eingewandten Produktes können wir nun das Ver-

*) Ist die Produktgrösse also von geltendem Werthe (und nur in diesem Falle
lässt sich von einer Stufenzahl derselben reden) so ist die Stufenzahl der Produkt-
grösse gleich der Stufe der eingewandten Multiplikation.
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§ 133 Der eigenthüml. Werth eines Pr. in Bezug auf ein Hauptmass.
Kap. IV) durch äussere Multiplikation verknüpft ist, während C noch
das gemeinschaftliche System darstellt. In dieser Form aufgefasst
bietet der zweite Ausdruck dasselbe Produkt der äussersten Fakto-
ren und denselben mittleren Faktor dar, wie das erste, und beide
sind somit einander gleich.

Noch habe ich hier daran zu erinnern, dass, wenn das Pro-
dukt der äussersten Faktoren von niederer Stufe ist als das Be-
ziehungssystem, dann beide Produkte gleichzeitig null werden (nach
§ 127), also auch für diesen Fall ihre Gleichheit bewahrt bleibt.
Nehmen wir endlich einen bestimmten Theil H des Hauptsystems
als Hauptmass (§ 87) an, so können wir jedes auf jenes Hauptsy-
stem bezügliche eingewandte Produkt auf die Form bringen, dass
der erste Faktor das Hauptmass wird. Nämlich wir können nach
dem vorher gesagten jedes solche Produkt, wenn es einen gelten-
den Werth hat, auf die Form bringen, dass der erste Faktor das
Beziehungssystem oder hier das Hauptsystem darstellt, also auch,
da wir die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse ändern können,
auf die Form, dass der erste Faktor irgend ein bestimmter Theil
des Hauptsystems, also auch dass er das Hauptmass wird. Ist das
eingewandte Produkt null, so können wir den ersten Faktor belie-
big setzen, wenn nur der zweite null ist, also kann auch in diesem
Falle das Produkt auf die verlangte Form gebracht werden. Wir
nennen dann, wenn ein Produkt auf diese Form gebracht ist, den
zweiten Faktor desselben „den eigenthümlichen (specifischen) Werth
oder Faktor jener Produktgrösse in Bezug auf das Hauptmass H,“
und sein System, welches zugleich das beiden Faktoren gemein-
schaftliche System ist, „das eigenthümliche System jener Grösse;“
seine Stufenzahl, d. h. die Stufenzahl des beiden Faktoren gemein-
schaftlichen Systems *), können wir als Stufenzahl der Grösse selbst
auffassen. Erst bei dieser Betrachtungsweise tritt der Werth des
eingewandten Produktes in seiner ganzen Einfachheit hervor.

§ 133. Aus dem im vorhergehenden Paragraphen aufgestell-
ten Begriffe des eingewandten Produktes können wir nun das Ver-

*) Ist die Produktgrösse also von geltendem Werthe (und nur in diesem Falle
lässt sich von einer Stufenzahl derselben reden) so ist die Stufenzahl der Produkt-
grösse gleich der Stufe der eingewandten Multiplikation.
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[195/0231] § 133 Der eigenthüml. Werth eines Pr. in Bezug auf ein Hauptmass. Kap. IV) durch äussere Multiplikation verknüpft ist, während C noch das gemeinschaftliche System darstellt. In dieser Form aufgefasst bietet der zweite Ausdruck dasselbe Produkt der äussersten Fakto- ren und denselben mittleren Faktor dar, wie das erste, und beide sind somit einander gleich. Noch habe ich hier daran zu erinnern, dass, wenn das Pro- dukt der äussersten Faktoren von niederer Stufe ist als das Be- ziehungssystem, dann beide Produkte gleichzeitig null werden (nach § 127), also auch für diesen Fall ihre Gleichheit bewahrt bleibt. Nehmen wir endlich einen bestimmten Theil H des Hauptsystems als Hauptmass (§ 87) an, so können wir jedes auf jenes Hauptsy- stem bezügliche eingewandte Produkt auf die Form bringen, dass der erste Faktor das Hauptmass wird. Nämlich wir können nach dem vorher gesagten jedes solche Produkt, wenn es einen gelten- den Werth hat, auf die Form bringen, dass der erste Faktor das Beziehungssystem oder hier das Hauptsystem darstellt, also auch, da wir die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse ändern können, auf die Form, dass der erste Faktor irgend ein bestimmter Theil des Hauptsystems, also auch dass er das Hauptmass wird. Ist das eingewandte Produkt null, so können wir den ersten Faktor belie- big setzen, wenn nur der zweite null ist, also kann auch in diesem Falle das Produkt auf die verlangte Form gebracht werden. Wir nennen dann, wenn ein Produkt auf diese Form gebracht ist, den zweiten Faktor desselben „den eigenthümlichen (specifischen) Werth oder Faktor jener Produktgrösse in Bezug auf das Hauptmass H,“ und sein System, welches zugleich das beiden Faktoren gemein- schaftliche System ist, „das eigenthümliche System jener Grösse;“ seine Stufenzahl, d. h. die Stufenzahl des beiden Faktoren gemein- schaftlichen Systems *), können wir als Stufenzahl der Grösse selbst auffassen. Erst bei dieser Betrachtungsweise tritt der Werth des eingewandten Produktes in seiner ganzen Einfachheit hervor. § 133. Aus dem im vorhergehenden Paragraphen aufgestell- ten Begriffe des eingewandten Produktes können wir nun das Ver- *) Ist die Produktgrösse also von geltendem Werthe (und nur in diesem Falle lässt sich von einer Stufenzahl derselben reden) so ist die Stufenzahl der Produkt- grösse gleich der Stufe der eingewandten Multiplikation. 13*

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 195. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/231>, abgerufen am 20.05.2024.