Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Das eingewandte Produkt. § 141 Da das Produkt einer Grösse nullter Stufe, welche selbst nichtnull ist, oder einer Grösse, die das Hauptsystem darstellt, jedes- mal einen geltenden Werth liefert, wenn der andere Faktor einen geltenden Werth hat, so folgt, dass wenn B einen geltenden Werth hat und zugleich entweder B selbst oder auch X eine Grösse null- ter oder h-ter Stufe ist, allemal X null sein müsse, wenn B . X null sein soll. Es wird also auch in diesem Falle der Quotient eindeutig sein. Aber auch in keinem andern. Denn wenn beide Grössen B und X von mittlerer Stufe sind, d. h. wenn ihre Stufen- zahlen zwischen 0 und h liegen, so wird X, ohne dass es null wird, stets so angenommen werden können, dass B und X von einander abhängig sind, und ihr nächstumfassendes System doch nicht das Hauptsystem selbst ist; es wird also alsdann nach § 128 einen geltenden Werth für X geben, dessen Produkt mit B null giebt, d. h. es wird dann der Quotient nicht eindeutig sein. Ist der Di- visor null, so wird, da null mit jeder Grösse, die wir bisher ken- nen gelernt haben, zum Produkte verknüpft null giebt, auch der Dividend null sein müssen, wenn der Quotient eine der bisher ent- wickelten Grössen sein soll, und zwar wird dann jede dieser Grös- sen als ein besonderer Werth des Quotienten aufgefasst werden können. Ist der Dividend aber eine Grösse von geltendem Wer- the, während der Divisor null ist, so erscheint der Quotient als eine Grösse von ganz neuer Gattung, die wir als unendliche Grösse bezeichnen können, während die bisher betrachteten als endliche erschienen. Fassen wir nun die so eben gewonnenen Ergebnisse zusammen, indem wir zugleich bedenken, dass, wenn C von 0-ter oder n-ter Stufe ist, Dividend und Divisor gleichartig sind; so ge- langen wir zu dem Satze: "Der Quotient stellt dann und nur dann einen einzigen, end- *) Denn auch die Grösse n-ter Stufe kann, wie wir oben sahen, als Grösse
null-ter Stufe dargestellt werden. Das eingewandte Produkt. § 141 Da das Produkt einer Grösse nullter Stufe, welche selbst nichtnull ist, oder einer Grösse, die das Hauptsystem darstellt, jedes- mal einen geltenden Werth liefert, wenn der andere Faktor einen geltenden Werth hat, so folgt, dass wenn B einen geltenden Werth hat und zugleich entweder B selbst oder auch X eine Grösse null- ter oder h-ter Stufe ist, allemal X null sein müsse, wenn B . X null sein soll. Es wird also auch in diesem Falle der Quotient eindeutig sein. Aber auch in keinem andern. Denn wenn beide Grössen B und X von mittlerer Stufe sind, d. h. wenn ihre Stufen- zahlen zwischen 0 und h liegen, so wird X, ohne dass es null wird, stets so angenommen werden können, dass B und X von einander abhängig sind, und ihr nächstumfassendes System doch nicht das Hauptsystem selbst ist; es wird also alsdann nach § 128 einen geltenden Werth für X geben, dessen Produkt mit B null giebt, d. h. es wird dann der Quotient nicht eindeutig sein. Ist der Di- visor null, so wird, da null mit jeder Grösse, die wir bisher ken- nen gelernt haben, zum Produkte verknüpft null giebt, auch der Dividend null sein müssen, wenn der Quotient eine der bisher ent- wickelten Grössen sein soll, und zwar wird dann jede dieser Grös- sen als ein besonderer Werth des Quotienten aufgefasst werden können. Ist der Dividend aber eine Grösse von geltendem Wer- the, während der Divisor null ist, so erscheint der Quotient als eine Grösse von ganz neuer Gattung, die wir als unendliche Grösse bezeichnen können, während die bisher betrachteten als endliche erschienen. Fassen wir nun die so eben gewonnenen Ergebnisse zusammen, indem wir zugleich bedenken, dass, wenn C von 0-ter oder n-ter Stufe ist, Dividend und Divisor gleichartig sind; so ge- langen wir zu dem Satze: „Der Quotient stellt dann und nur dann einen einzigen, end- *) Denn auch die Grösse n-ter Stufe kann, wie wir oben sahen, als Grösse
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Das eingewandte Produkt. § 141
Da das Produkt einer Grösse nullter Stufe, welche selbst nicht
null ist, oder einer Grösse, die das Hauptsystem darstellt, jedes-
mal einen geltenden Werth liefert, wenn der andere Faktor einen
geltenden Werth hat, so folgt, dass wenn B einen geltenden Werth
hat und zugleich entweder B selbst oder auch X eine Grösse null-
ter oder h-ter Stufe ist, allemal X null sein müsse, wenn B . X
null sein soll. Es wird also auch in diesem Falle der Quotient
eindeutig sein. Aber auch in keinem andern. Denn wenn beide
Grössen B und X von mittlerer Stufe sind, d. h. wenn ihre Stufen-
zahlen zwischen 0 und h liegen, so wird X, ohne dass es null wird,
stets so angenommen werden können, dass B und X von einander
abhängig sind, und ihr nächstumfassendes System doch nicht das
Hauptsystem selbst ist; es wird also alsdann nach § 128 einen
geltenden Werth für X geben, dessen Produkt mit B null giebt,
d. h. es wird dann der Quotient nicht eindeutig sein. Ist der Di-
visor null, so wird, da null mit jeder Grösse, die wir bisher ken-
nen gelernt haben, zum Produkte verknüpft null giebt, auch der
Dividend null sein müssen, wenn der Quotient eine der bisher ent-
wickelten Grössen sein soll, und zwar wird dann jede dieser Grös-
sen als ein besonderer Werth des Quotienten aufgefasst werden
können. Ist der Dividend aber eine Grösse von geltendem Wer-
the, während der Divisor null ist, so erscheint der Quotient als
eine Grösse von ganz neuer Gattung, die wir als unendliche Grösse
bezeichnen können, während die bisher betrachteten als endliche
erschienen. Fassen wir nun die so eben gewonnenen Ergebnisse
zusammen, indem wir zugleich bedenken, dass, wenn C von 0-ter
oder n-ter Stufe ist, Dividend und Divisor gleichartig sind; so ge-
langen wir zu dem Satze:
„Der Quotient stellt dann und nur dann einen einzigen, end-
lichen Werth dar, wenn der Divisor von geltendem Werthe
ist, und zugleich entweder selbst als Grösse null-ter Stufe
dargestellt werden kann *), oder dem Dividend gleichartig ist.
Sind Dividend und Divisor null, so ist der Quotient jede be-
liebige endliche Grösse. Ist der Divisor null, der Dividend
*) Denn auch die Grösse n-ter Stufe kann, wie wir oben sahen, als Grösse
null-ter Stufe dargestellt werden.
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 214. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/250>, abgerufen am 22.11.2024. |
