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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 143
Grössen und auf die Stufenzahlen zurückgeht, werden in analoger
Form, indem man nämlich die Begriffe der Ueberordnung und Un-
terordnung vertauscht, den Begriff der Stufenzahl aber durch den
der Ergänzzahl ersetzt, auch für die eingewandte auf das Haupt-
system bezügliche Multiplikation gelten. Und da auch das Hinzu-
fügen von Faktoren, die das Hauptsystem darstellen, wenn es nur
in allen Gliedern einer Gleichung gleich vielmal geschieht, die
Gleichung nicht ändert, so bestehen jene Gesetze auch noch, wenn
man statt der reinen Grössen die Beziehungsgrössen setzt, deren
Beziehungssystem gleichfalls das Hauptsystem ist.

§ 143. Nachdem ich nun die vollkommene Analogie zwischen
äusserer und eingewandter Multiplikation dargethan habe, will ich
noch auf eine Erweiterung der bisherigen Betrachtungsweise auf-
merksam machen. Hat man nämlich mehrere Grössen, welche dem-
selben Systeme a-ter Stufe übergeordnet und demselben Systeme
(a + b)ter Stufe untergeordnet sind, so kann man dieselben als
Produkte darstellen, deren einer Faktor (A) von a-ter Stufe und in
allen derselbe ist, während die andern Faktoren demselben Systeme
b-ter Stufe, B, welches von A unabhängig ist, angehören. Dann
leuchtet sogleich ein, dass jede Zahlenrelation, welche zwischen
diesen Faktoren, die dem Systeme B angehören, statt findet, auch
zwischen den ursprünglichen Grössen (da sie durch Multiplikation
der letzteren mit A hervorgehen) herrschen müsse, und umgekehrt,
dass jede Zahlenrelation, welche zwischen diesen letzteren herrscht,
auch zwischen den ersteren herrschen müsse (da man nach § 81
in den Gleichungen, welche jene Zahlenrelation darstellen, den Fak-
tor A weglassen darf). Nehmen wir namentlich Grössen (a + 1)ter
Stufe an z. B. Ac, Ad, ...., wo c, d, .... dem Systeme B angehö-
ren, so werden zwischen Ac, Ad, ... dieselben Zahlenrelationen
herrschen, wie zwischen c, d, ... und umgekehrt. Setzt man da-
her den Begriff des Produktes solcher Grössen Ac, Ad, .... so fest,
dass es null wird, wenn das Produkt der entsprechenden Grössen
c, d, .... es wird; so wird man nun alle Begriffe und Gesetze von
Grössen erster Stufe in einem Systeme b-ter Stufe, also auch alle
Begriffe und Gesetze von Grössen höherer Stufen in einem solchen
Systeme, auf jene Grössen (a + 1)ter Stufe, und die daraus auf glei-
che Weise erzeugten Grössen übertragen können. Hierdurch ent-

Das eingewandte Produkt. § 143
Grössen und auf die Stufenzahlen zurückgeht, werden in analoger
Form, indem man nämlich die Begriffe der Ueberordnung und Un-
terordnung vertauscht, den Begriff der Stufenzahl aber durch den
der Ergänzzahl ersetzt, auch für die eingewandte auf das Haupt-
system bezügliche Multiplikation gelten. Und da auch das Hinzu-
fügen von Faktoren, die das Hauptsystem darstellen, wenn es nur
in allen Gliedern einer Gleichung gleich vielmal geschieht, die
Gleichung nicht ändert, so bestehen jene Gesetze auch noch, wenn
man statt der reinen Grössen die Beziehungsgrössen setzt, deren
Beziehungssystem gleichfalls das Hauptsystem ist.

§ 143. Nachdem ich nun die vollkommene Analogie zwischen
äusserer und eingewandter Multiplikation dargethan habe, will ich
noch auf eine Erweiterung der bisherigen Betrachtungsweise auf-
merksam machen. Hat man nämlich mehrere Grössen, welche dem-
selben Systeme a-ter Stufe übergeordnet und demselben Systeme
(a + b)ter Stufe untergeordnet sind, so kann man dieselben als
Produkte darstellen, deren einer Faktor (A) von a-ter Stufe und in
allen derselbe ist, während die andern Faktoren demselben Systeme
b-ter Stufe, B, welches von A unabhängig ist, angehören. Dann
leuchtet sogleich ein, dass jede Zahlenrelation, welche zwischen
diesen Faktoren, die dem Systeme B angehören, statt findet, auch
zwischen den ursprünglichen Grössen (da sie durch Multiplikation
der letzteren mit A hervorgehen) herrschen müsse, und umgekehrt,
dass jede Zahlenrelation, welche zwischen diesen letzteren herrscht,
auch zwischen den ersteren herrschen müsse (da man nach § 81
in den Gleichungen, welche jene Zahlenrelation darstellen, den Fak-
tor A weglassen darf). Nehmen wir namentlich Grössen (a + 1)ter
Stufe an z. B. Ac, Ad, ...., wo c, d, .... dem Systeme B angehö-
ren, so werden zwischen Ac, Ad, ... dieselben Zahlenrelationen
herrschen, wie zwischen c, d, ... und umgekehrt. Setzt man da-
her den Begriff des Produktes solcher Grössen Ac, Ad, .... so fest,
dass es null wird, wenn das Produkt der entsprechenden Grössen
c, d, .... es wird; so wird man nun alle Begriffe und Gesetze von
Grössen erster Stufe in einem Systeme b-ter Stufe, also auch alle
Begriffe und Gesetze von Grössen höherer Stufen in einem solchen
Systeme, auf jene Grössen (a + 1)ter Stufe, und die daraus auf glei-
che Weise erzeugten Grössen übertragen können. Hierdurch ent-

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[220/0256] Das eingewandte Produkt. § 143 Grössen und auf die Stufenzahlen zurückgeht, werden in analoger Form, indem man nämlich die Begriffe der Ueberordnung und Un- terordnung vertauscht, den Begriff der Stufenzahl aber durch den der Ergänzzahl ersetzt, auch für die eingewandte auf das Haupt- system bezügliche Multiplikation gelten. Und da auch das Hinzu- fügen von Faktoren, die das Hauptsystem darstellen, wenn es nur in allen Gliedern einer Gleichung gleich vielmal geschieht, die Gleichung nicht ändert, so bestehen jene Gesetze auch noch, wenn man statt der reinen Grössen die Beziehungsgrössen setzt, deren Beziehungssystem gleichfalls das Hauptsystem ist. § 143. Nachdem ich nun die vollkommene Analogie zwischen äusserer und eingewandter Multiplikation dargethan habe, will ich noch auf eine Erweiterung der bisherigen Betrachtungsweise auf- merksam machen. Hat man nämlich mehrere Grössen, welche dem- selben Systeme a-ter Stufe übergeordnet und demselben Systeme (a + b)ter Stufe untergeordnet sind, so kann man dieselben als Produkte darstellen, deren einer Faktor (A) von a-ter Stufe und in allen derselbe ist, während die andern Faktoren demselben Systeme b-ter Stufe, B, welches von A unabhängig ist, angehören. Dann leuchtet sogleich ein, dass jede Zahlenrelation, welche zwischen diesen Faktoren, die dem Systeme B angehören, statt findet, auch zwischen den ursprünglichen Grössen (da sie durch Multiplikation der letzteren mit A hervorgehen) herrschen müsse, und umgekehrt, dass jede Zahlenrelation, welche zwischen diesen letzteren herrscht, auch zwischen den ersteren herrschen müsse (da man nach § 81 in den Gleichungen, welche jene Zahlenrelation darstellen, den Fak- tor A weglassen darf). Nehmen wir namentlich Grössen (a + 1)ter Stufe an z. B. Ac, Ad, ...., wo c, d, .... dem Systeme B angehö- ren, so werden zwischen Ac, Ad, ... dieselben Zahlenrelationen herrschen, wie zwischen c, d, ... und umgekehrt. Setzt man da- her den Begriff des Produktes solcher Grössen Ac, Ad, .... so fest, dass es null wird, wenn das Produkt der entsprechenden Grössen c, d, .... es wird; so wird man nun alle Begriffe und Gesetze von Grössen erster Stufe in einem Systeme b-ter Stufe, also auch alle Begriffe und Gesetze von Grössen höherer Stufen in einem solchen Systeme, auf jene Grössen (a + 1)ter Stufe, und die daraus auf glei- che Weise erzeugten Grössen übertragen können. Hierdurch ent-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 220. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/256>, abgerufen am 22.11.2024.