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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 158 Zusammenhang zw. Abschattung u. Affinität.
untergeordnet. Es sind aber diese Grössen sowohl von einander
als von dem Systeme des Vereins A unabhängig. Denn fände eine
solche Abhängigkeit statt, so würde auch eine Vielfachensumme von
a1 ... am und den andern Grössen erster Stufe, die dem Vereine A an-
gehören, als gleich erscheinen einer Vielfachensumme der Grössen
b1 ... bm, d. h. es würde in dem Systeme b1 . b2 .... bm eine Grösse
geben, welche den Systemen beider Vereine gemeinschaftlich wäre,
d. h. dem Systeme C angehörte, was wider die Voraussetzung ist,
indem jenes Produkt von C unabhängig angenommen ist. Da nun
die Grössen (a1 -- b1) ... (am -- bm) von einander unabhängig und
dem Systeme L untergeordnet sind, so ist auch ihr äusseres Pro-
dukt diesem Systeme untergeordnet; und wenn wir annehmen, dass
das Leitsystem nicht von höherer als m-ter Stufe ist, so folgt, dass
es durch jenes Produkt dargestellt, also vollkommen bestimmt ist,
oder mit andern Worten, es ist dann der Sinn der Abschattung be-
stimmt. Setzen wir daher L jenem Produkte gleich, so folgt auch
umgekehrt die Gültigkeit der Gleichungen
[Formel 1] und da L von dem Systeme von A unabhängig ist, so folgt, dass
a1 ... am in der That die Abschattung von b1 ... bm auf das System
von A nach dem Leitsysteme L sind. Nimmt man nun in dem Systeme
von B irgend eine andere Grösse erster Stufe b an, so wird sich die-
selbe als Vielfachensumme von den Grössen b1 ... bm und von Grös-
sen, die dem Systeme C angehören, darstellen lassen. Dann wird
die entsprechende Grösse a des ersten Vereins sich als entspre-
chende Vielfachensumme von den entsprechenden Grössen ihres Ver-
eins darstellen lassen, d. h. als entsprechende Vielfachensumme von
den Abschattungen jener Grössen erscheinen, oder sie selbst ist die Ab-
schattung jener ersteren. Wir haben somit den Satz gewonnen:

"Wenn zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins (A)
dieselben Zahlenrelationen stattfinden, welche zwischen den
entsprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereins (B)
herrschen: so ist der erste Verein (A) dann und nur dann als
Abschattung des zweiten (B) aufzufassen, wenn in dem ge-
meinschaftlichen Systeme beider Vereine die entsprechenden
Grössen zusammenfallen; und zwar ist dann der Sinn der Ab-
schattung vollkommen bestimmt."

§ 158 Zusammenhang zw. Abschattung u. Affinität.
untergeordnet. Es sind aber diese Grössen sowohl von einander
als von dem Systeme des Vereins A unabhängig. Denn fände eine
solche Abhängigkeit statt, so würde auch eine Vielfachensumme von
a1 ... am und den andern Grössen erster Stufe, die dem Vereine A an-
gehören, als gleich erscheinen einer Vielfachensumme der Grössen
b1 ... bm, d. h. es würde in dem Systeme b1 . b2 .... bm eine Grösse
geben, welche den Systemen beider Vereine gemeinschaftlich wäre,
d. h. dem Systeme C angehörte, was wider die Voraussetzung ist,
indem jenes Produkt von C unabhängig angenommen ist. Da nun
die Grössen (a1 — b1) ... (am — bm) von einander unabhängig und
dem Systeme L untergeordnet sind, so ist auch ihr äusseres Pro-
dukt diesem Systeme untergeordnet; und wenn wir annehmen, dass
das Leitsystem nicht von höherer als m-ter Stufe ist, so folgt, dass
es durch jenes Produkt dargestellt, also vollkommen bestimmt ist,
oder mit andern Worten, es ist dann der Sinn der Abschattung be-
stimmt. Setzen wir daher L jenem Produkte gleich, so folgt auch
umgekehrt die Gültigkeit der Gleichungen
[Formel 1] und da L von dem Systeme von A unabhängig ist, so folgt, dass
a1 ... am in der That die Abschattung von b1 ... bm auf das System
von A nach dem Leitsysteme L sind. Nimmt man nun in dem Systeme
von B irgend eine andere Grösse erster Stufe b an, so wird sich die-
selbe als Vielfachensumme von den Grössen b1 ... bm und von Grös-
sen, die dem Systeme C angehören, darstellen lassen. Dann wird
die entsprechende Grösse a des ersten Vereins sich als entspre-
chende Vielfachensumme von den entsprechenden Grössen ihres Ver-
eins darstellen lassen, d. h. als entsprechende Vielfachensumme von
den Abschattungen jener Grössen erscheinen, oder sie selbst ist die Ab-
schattung jener ersteren. Wir haben somit den Satz gewonnen:

„Wenn zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins (A)
dieselben Zahlenrelationen stattfinden, welche zwischen den
entsprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereins (B)
herrschen: so ist der erste Verein (A) dann und nur dann als
Abschattung des zweiten (B) aufzufassen, wenn in dem ge-
meinschaftlichen Systeme beider Vereine die entsprechenden
Grössen zusammenfallen; und zwar ist dann der Sinn der Ab-
schattung vollkommen bestimmt.“
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[245/0281] § 158 Zusammenhang zw. Abschattung u. Affinität. untergeordnet. Es sind aber diese Grössen sowohl von einander als von dem Systeme des Vereins A unabhängig. Denn fände eine solche Abhängigkeit statt, so würde auch eine Vielfachensumme von a1 ... am und den andern Grössen erster Stufe, die dem Vereine A an- gehören, als gleich erscheinen einer Vielfachensumme der Grössen b1 ... bm, d. h. es würde in dem Systeme b1 . b2 .... bm eine Grösse geben, welche den Systemen beider Vereine gemeinschaftlich wäre, d. h. dem Systeme C angehörte, was wider die Voraussetzung ist, indem jenes Produkt von C unabhängig angenommen ist. Da nun die Grössen (a1 — b1) ... (am — bm) von einander unabhängig und dem Systeme L untergeordnet sind, so ist auch ihr äusseres Pro- dukt diesem Systeme untergeordnet; und wenn wir annehmen, dass das Leitsystem nicht von höherer als m-ter Stufe ist, so folgt, dass es durch jenes Produkt dargestellt, also vollkommen bestimmt ist, oder mit andern Worten, es ist dann der Sinn der Abschattung be- stimmt. Setzen wir daher L jenem Produkte gleich, so folgt auch umgekehrt die Gültigkeit der Gleichungen [FORMEL] und da L von dem Systeme von A unabhängig ist, so folgt, dass a1 ... am in der That die Abschattung von b1 ... bm auf das System von A nach dem Leitsysteme L sind. Nimmt man nun in dem Systeme von B irgend eine andere Grösse erster Stufe b an, so wird sich die- selbe als Vielfachensumme von den Grössen b1 ... bm und von Grös- sen, die dem Systeme C angehören, darstellen lassen. Dann wird die entsprechende Grösse a des ersten Vereins sich als entspre- chende Vielfachensumme von den entsprechenden Grössen ihres Ver- eins darstellen lassen, d. h. als entsprechende Vielfachensumme von den Abschattungen jener Grössen erscheinen, oder sie selbst ist die Ab- schattung jener ersteren. Wir haben somit den Satz gewonnen: „Wenn zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins (A) dieselben Zahlenrelationen stattfinden, welche zwischen den entsprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereins (B) herrschen: so ist der erste Verein (A) dann und nur dann als Abschattung des zweiten (B) aufzufassen, wenn in dem ge- meinschaftlichen Systeme beider Vereine die entsprechenden Grössen zusammenfallen; und zwar ist dann der Sinn der Ab- schattung vollkommen bestimmt.“

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 245. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/281>, abgerufen am 22.11.2024.