der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger sind.
§ 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab- hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol- che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene 3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre- chenden Punktenpaaren ABCD und A'B'C'D' zweier kollinearer ebenen Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre- chenden Linien AB und CD einerseits, und A'B' und C'D' andererseits, indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver- eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver- eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und a', b', c', d' einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd und a'b' . c'd' (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h. die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele- mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin- cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger.
§ 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare
Verwandtschaftsbeziehungen. § 161—162
der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger sind.
§ 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab- hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol- che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene 3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre- chenden Punktenpaaren ABCD und A′B′C′D′ zweier kollinearer ebenen Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre- chenden Linien AB und CD einerseits, und A′B′ und C′D′ andererseits, indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver- eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver- eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und a′, b′, c′, d′ einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd und a′b′ . c′d′ (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h. die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele- mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin- cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger.
§ 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0284"n="248"/><fwplace="top"type="header">Verwandtschaftsbeziehungen. § 161—162</fw><lb/>
der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern<lb/>
Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen<lb/>
Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip<lb/>
der gleichen Zeiger sind.</p><lb/><p>§ 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme<lb/>
man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine<lb/>
drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier<lb/>
solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem<lb/>
Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte<lb/>
Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab-<lb/>
hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol-<lb/>
che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so<lb/>
gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene<lb/>
3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke<lb/>
des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man<lb/>
nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende<lb/>
Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten<lb/>
Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man<lb/>
nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre-<lb/>
chenden Punktenpaaren ABCD und A′B′C′D′ zweier kollinearer ebenen<lb/>
Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre-<lb/>
chenden Linien AB und CD einerseits, und A′B′ und C′D′ andererseits,<lb/>
indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver-<lb/>
eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt<lb/>
haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver-<lb/>
eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun<lb/>
die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und<lb/>
a′, b′, c′, d′ einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd<lb/>
und a′b′ . c′d′ (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h.<lb/>
die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem<lb/>
Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele-<lb/>
mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin-<lb/>
cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach<lb/>
dem Princip der gleichen Zeiger.</p><lb/><p>§ 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume<lb/>
nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[248/0284]
Verwandtschaftsbeziehungen. § 161—162
der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern
Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen
Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip
der gleichen Zeiger sind.
§ 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme
man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine
drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier
solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem
Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte
Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab-
hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol-
che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so
gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene
3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke
des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man
nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende
Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten
Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man
nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre-
chenden Punktenpaaren ABCD und A′B′C′D′ zweier kollinearer ebenen
Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre-
chenden Linien AB und CD einerseits, und A′B′ und C′D′ andererseits,
indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver-
eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt
haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver-
eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun
die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und
a′, b′, c′, d′ einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd
und a′b′ . c′d′ (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h.
die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem
Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele-
mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin-
cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach
dem Princip der gleichen Zeiger.
§ 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume
nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 248. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/284>, abgerufen am 22.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
