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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 3 Gleichheit -- Verknüpfung.
knüpft werden, und so gelangt man zu einer Verknüpfung mehrerer
Glieder, welche aber zunächst immer nur als eine Verknüpfung je
zweier erscheint. Der Bequemlichkeit wegen bedienen wir uns der
üblichen abgekürzten Klammerbezeichnung, indem wir nämlich die
zusammengehörigen Zeichen einer Klammer weglassen, wenn deren
Oeffnungszeichen [(] entweder am Anfang des ganzen Ausdrucks
steht, oder nach einem andern Oeffnungszeichen folgen würde;
z. B. statt ((a * b) * c) schreiben wir a * b * c.

§ 3. Die besondere Art der Verknüpfung wird nun dadurch
bestimmt, was bei derselben als Ergebniss festgehalten, d. h. unter
welchen Umständen und in welcher Ausdehnung das Ergebniss als
sich gleich bleibend gesetzt wird. Die einzigen Veränderungen,
welche man, ohne die einzelnen verknüpften Formen selbst zu än-
dern, vornehmen kann, ist Aenderung der Klammern und Umord-
nung der Glieder. Nehmen wir zuerst die Verknüpfung so an,
dass bei drei Gliedern das Setzen der Klammern keinen realen
Unterschied, d. h. keinen Unterschied des Ergebnisses begründet,
also dass a * (b * c) = a * b * c ist, so folgt zunächst, dass man auch
in jeder mehrgliedrigen Verknüpfung dieser Art, ohne ihr Ergeb-
niss zu ändern, die Klammern weglassen kann. Denn jede Klam-
mer schliesst vermöge der darüber festgesetzten Bestimmung zu-
nächst einen zweigliedrigen Ausdruck ein, und dieser Ausdruck
muss wieder als Glied verbunden sein mit einer andern Form,
kurz es tritt eine Verbindung von drei Formen hervor, für welche
wir voraussetzten, dass man die Klammer weglassen könne, ohne
das Ergebniss ihrer Verknüpfung zu ändern; also wird auch, da
man statt jeder Form die ihr gleiche setzen darf, das Gesammt-
ergebniss durch das Weglassen jener Klammer nicht geändert.
Also
"Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass bei drei Glie-
dern die Klammern weggelassen werden dürfen, so gilt dies
auch bei beliebig vielen;"
oder, da man in zwei Ausdrücken, welche sich nur durch das
Setzen der Klammern unterscheiden, stets nach dem so eben er-

mal an der Vorstellung des einzelnen Verknüpften aufgegeben wird, hängt von
der Natur der jedesmaligen Verknüpfung ab.
1 *

§ 3 Gleichheit — Verknüpfung.
knüpft werden, und so gelangt man zu einer Verknüpfung mehrerer
Glieder, welche aber zunächst immer nur als eine Verknüpfung je
zweier erscheint. Der Bequemlichkeit wegen bedienen wir uns der
üblichen abgekürzten Klammerbezeichnung, indem wir nämlich die
zusammengehörigen Zeichen einer Klammer weglassen, wenn deren
Oeffnungszeichen [(] entweder am Anfang des ganzen Ausdrucks
steht, oder nach einem andern Oeffnungszeichen folgen würde;
z. B. statt ((a ◠ b) ◠ c) schreiben wir a ◠ b ◠ c.

§ 3. Die besondere Art der Verknüpfung wird nun dadurch
bestimmt, was bei derselben als Ergebniss festgehalten, d. h. unter
welchen Umständen und in welcher Ausdehnung das Ergebniss als
sich gleich bleibend gesetzt wird. Die einzigen Veränderungen,
welche man, ohne die einzelnen verknüpften Formen selbst zu än-
dern, vornehmen kann, ist Aenderung der Klammern und Umord-
nung der Glieder. Nehmen wir zuerst die Verknüpfung so an,
dass bei drei Gliedern das Setzen der Klammern keinen realen
Unterschied, d. h. keinen Unterschied des Ergebnisses begründet,
also dass a ◠ (b ◠ c) = a ◠ b ◠ c ist, so folgt zunächst, dass man auch
in jeder mehrgliedrigen Verknüpfung dieser Art, ohne ihr Ergeb-
niss zu ändern, die Klammern weglassen kann. Denn jede Klam-
mer schliesst vermöge der darüber festgesetzten Bestimmung zu-
nächst einen zweigliedrigen Ausdruck ein, und dieser Ausdruck
muss wieder als Glied verbunden sein mit einer andern Form,
kurz es tritt eine Verbindung von drei Formen hervor, für welche
wir voraussetzten, dass man die Klammer weglassen könne, ohne
das Ergebniss ihrer Verknüpfung zu ändern; also wird auch, da
man statt jeder Form die ihr gleiche setzen darf, das Gesammt-
ergebniss durch das Weglassen jener Klammer nicht geändert.
Also
„Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass bei drei Glie-
dern die Klammern weggelassen werden dürfen, so gilt dies
auch bei beliebig vielen;“
oder, da man in zwei Ausdrücken, welche sich nur durch das
Setzen der Klammern unterscheiden, stets nach dem so eben er-

mal an der Vorstellung des einzelnen Verknüpften aufgegeben wird, hängt von
der Natur der jedesmaligen Verknüpfung ab.
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[3/0039] § 3 Gleichheit — Verknüpfung. knüpft werden, und so gelangt man zu einer Verknüpfung mehrerer Glieder, welche aber zunächst immer nur als eine Verknüpfung je zweier erscheint. Der Bequemlichkeit wegen bedienen wir uns der üblichen abgekürzten Klammerbezeichnung, indem wir nämlich die zusammengehörigen Zeichen einer Klammer weglassen, wenn deren Oeffnungszeichen [(] entweder am Anfang des ganzen Ausdrucks steht, oder nach einem andern Oeffnungszeichen folgen würde; z. B. statt ((a ◠ b) ◠ c) schreiben wir a ◠ b ◠ c. § 3. Die besondere Art der Verknüpfung wird nun dadurch bestimmt, was bei derselben als Ergebniss festgehalten, d. h. unter welchen Umständen und in welcher Ausdehnung das Ergebniss als sich gleich bleibend gesetzt wird. Die einzigen Veränderungen, welche man, ohne die einzelnen verknüpften Formen selbst zu än- dern, vornehmen kann, ist Aenderung der Klammern und Umord- nung der Glieder. Nehmen wir zuerst die Verknüpfung so an, dass bei drei Gliedern das Setzen der Klammern keinen realen Unterschied, d. h. keinen Unterschied des Ergebnisses begründet, also dass a ◠ (b ◠ c) = a ◠ b ◠ c ist, so folgt zunächst, dass man auch in jeder mehrgliedrigen Verknüpfung dieser Art, ohne ihr Ergeb- niss zu ändern, die Klammern weglassen kann. Denn jede Klam- mer schliesst vermöge der darüber festgesetzten Bestimmung zu- nächst einen zweigliedrigen Ausdruck ein, und dieser Ausdruck muss wieder als Glied verbunden sein mit einer andern Form, kurz es tritt eine Verbindung von drei Formen hervor, für welche wir voraussetzten, dass man die Klammer weglassen könne, ohne das Ergebniss ihrer Verknüpfung zu ändern; also wird auch, da man statt jeder Form die ihr gleiche setzen darf, das Gesammt- ergebniss durch das Weglassen jener Klammer nicht geändert. Also „Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass bei drei Glie- dern die Klammern weggelassen werden dürfen, so gilt dies auch bei beliebig vielen;“ oder, da man in zwei Ausdrücken, welche sich nur durch das Setzen der Klammern unterscheiden, stets nach dem so eben er- **) **) mal an der Vorstellung des einzelnen Verknüpften aufgegeben wird, hängt von der Natur der jedesmaligen Verknüpfung ab. 1 *

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 3. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/39>, abgerufen am 21.11.2024.