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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 20 Selbständigkeit der Systeme.
wird es sich (§ 18) darstellen lassen als Summe von Strecken, die
den ursprünglichen Aenderungsweisen angehören, d. h.
[Formel 1] gesetzt werden können, wenn a, b, c, ... den ursprünglichen Aende-
rungsweisen angehören. Wenn nun a die Aenderungsweise dar-
stellt, für welche p eingeführt werden soll, so muss p von den
übrigen b, c, ...., wie wir voraussetzten, unabhängig sein, d. h. a
darf nicht gleich null sein, während hingegen von den übrigen
Stücken jedes null sein darf. Ich habe nun zu zeigen, dass jedes
Element des durch p, b, c, .... erzeugten Systemes auch dem
durch a, b, c .... erzeugten angehöre und umgekehrt, sobald beide
von demselben Anfangselemente aus erzeugt sind. Das erste ist
unmittelbar klar, da p dem durch a, b, c, erzeugten Systeme an-
gehört, das zweite bedarf eines ausführlicheren Beweises. Ein
jedes Element des durch a, b, c .... von irgend einem Anfangs-
element aus erzeugten Systemes kann durch eine Aenderung
[Formel 2] wo a1, b2, c2 ... mit a, b, c, ... beziehlich gleichartig sind, aus
dem Anfangselemente erzeugt werden. Um nun hierin statt a1 die
Grösse p oder eine ihr gleichartige einführen zu können, nehme
man für den Augenblick die Grössen p, a, b, c .... als entspre-
chende an, und in demselben Sinne mögen p1, a1, b1, c1 ....
einander entsprechen, so wird, da
[Formel 3] ist, auch nach § 18 dieselbe Gleichung für die entsprechenden
Strecken gelten, also
[Formel 4] sein, somit auch
[Formel 5] Und dies statt a substituirt, hat man
[Formel 6] d. h. das fragliche Element ist aus dem Anfangselement durch
Aenderungen, die mit p, b, c ... gleichartig sind, erzeugbar, d. h.
gehört dem durch p, b, c, ... aus demselben Anfangselement er-
zeugten Systeme an. Es ist also die Identität beider Systeme be-
wiesen, und gezeigt, dass man statt jeder beliebigen der m das
System ursprünglich erzeugenden Aenderungsweisen, jede beliebige

§ 20 Selbständigkeit der Systeme.
wird es sich (§ 18) darstellen lassen als Summe von Strecken, die
den ursprünglichen Aenderungsweisen angehören, d. h.
[Formel 1] gesetzt werden können, wenn a, b, c, ... den ursprünglichen Aende-
rungsweisen angehören. Wenn nun a die Aenderungsweise dar-
stellt, für welche p eingeführt werden soll, so muss p von den
übrigen b, c, ...., wie wir voraussetzten, unabhängig sein, d. h. a
darf nicht gleich null sein, während hingegen von den übrigen
Stücken jedes null sein darf. Ich habe nun zu zeigen, dass jedes
Element des durch p, b, c, .... erzeugten Systemes auch dem
durch a, b, c .... erzeugten angehöre und umgekehrt, sobald beide
von demselben Anfangselemente aus erzeugt sind. Das erste ist
unmittelbar klar, da p dem durch a, b, c, erzeugten Systeme an-
gehört, das zweite bedarf eines ausführlicheren Beweises. Ein
jedes Element des durch a, b, c .... von irgend einem Anfangs-
element aus erzeugten Systemes kann durch eine Aenderung
[Formel 2] wo a1, b2, c2 ... mit a, b, c, ... beziehlich gleichartig sind, aus
dem Anfangselemente erzeugt werden. Um nun hierin statt a1 die
Grösse p oder eine ihr gleichartige einführen zu können, nehme
man für den Augenblick die Grössen p, a, b, c .... als entspre-
chende an, und in demselben Sinne mögen p1, a1, b1, c1 ....
einander entsprechen, so wird, da
[Formel 3] ist, auch nach § 18 dieselbe Gleichung für die entsprechenden
Strecken gelten, also
[Formel 4] sein, somit auch
[Formel 5] Und dies statt a substituirt, hat man
[Formel 6] d. h. das fragliche Element ist aus dem Anfangselement durch
Aenderungen, die mit p, b, c ... gleichartig sind, erzeugbar, d. h.
gehört dem durch p, b, c, ... aus demselben Anfangselement er-
zeugten Systeme an. Es ist also die Identität beider Systeme be-
wiesen, und gezeigt, dass man statt jeder beliebigen der m das
System ursprünglich erzeugenden Aenderungsweisen, jede beliebige

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[31/0067] § 20 Selbständigkeit der Systeme. wird es sich (§ 18) darstellen lassen als Summe von Strecken, die den ursprünglichen Aenderungsweisen angehören, d. h. [FORMEL] gesetzt werden können, wenn a, b, c, ... den ursprünglichen Aende- rungsweisen angehören. Wenn nun a die Aenderungsweise dar- stellt, für welche p eingeführt werden soll, so muss p von den übrigen b, c, ...., wie wir voraussetzten, unabhängig sein, d. h. a darf nicht gleich null sein, während hingegen von den übrigen Stücken jedes null sein darf. Ich habe nun zu zeigen, dass jedes Element des durch p, b, c, .... erzeugten Systemes auch dem durch a, b, c .... erzeugten angehöre und umgekehrt, sobald beide von demselben Anfangselemente aus erzeugt sind. Das erste ist unmittelbar klar, da p dem durch a, b, c, erzeugten Systeme an- gehört, das zweite bedarf eines ausführlicheren Beweises. Ein jedes Element des durch a, b, c .... von irgend einem Anfangs- element aus erzeugten Systemes kann durch eine Aenderung [FORMEL] wo a1, b2, c2 ... mit a, b, c, ... beziehlich gleichartig sind, aus dem Anfangselemente erzeugt werden. Um nun hierin statt a1 die Grösse p oder eine ihr gleichartige einführen zu können, nehme man für den Augenblick die Grössen p, a, b, c .... als entspre- chende an, und in demselben Sinne mögen p1, a1, b1, c1 .... einander entsprechen, so wird, da [FORMEL] ist, auch nach § 18 dieselbe Gleichung für die entsprechenden Strecken gelten, also [FORMEL] sein, somit auch [FORMEL] Und dies statt a substituirt, hat man [FORMEL] d. h. das fragliche Element ist aus dem Anfangselement durch Aenderungen, die mit p, b, c ... gleichartig sind, erzeugbar, d. h. gehört dem durch p, b, c, ... aus demselben Anfangselement er- zeugten Systeme an. Es ist also die Identität beider Systeme be- wiesen, und gezeigt, dass man statt jeder beliebigen der m das System ursprünglich erzeugenden Aenderungsweisen, jede beliebige

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 31. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/67>, abgerufen am 19.05.2024.