Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Aeussere Multiplikation der Strecken. § 33 Verhältniss zur Addition zukomme *). Hiermit ist nun unsereVerknüpfung nach § 12 als Multiplikation nachgewiesen, und wir führen daher für sie auch sogleich die multiplikative Bezeichnung ein. Es ergiebt sich nun unmittelbar aus dem im vorigen § gege- benen Begriffe dieser Verknüpfungsweise, "dass ein Produkt, in welchem zwei Faktoren gleichartig, oder überhaupt in welchem die n Faktoren von einander abhängig sind, d. h. einem System von niederer Stufe als der n-ten angehören, als null zu betrachten ist;" hierzu gehört auch der Fall, wo einer der Faktoren null ist, sofern einerseits die Null immer als abhängig gedacht werden kann, andererseits das mit ihr gebildete Produkt null ist. Aber auch umgekehrt folgt, "dass, wenn die Faktoren von einander unabhän- gig sind, das Produkt immer einen geltenden Werth habe," indem es dann einen bestimmten Theil jenes Systemes n-ter Stufe dar- stellt. Es bleibt uns nur noch übrig, zu zeigen, dass jene Be- ziehung auch für die Addition ungleichartiger Strecken gültig sei. Dies darzuthun, soll nun die Aufgabe der folgenden Paragraphen sein. § 33. Diese allgemeine Beziehung beruht bei zwei Faktoren *) Vergl. hier überall § 12, wo das gleiche Eingehen der Theile in die Ver-
knüpfung zum Princip der Entwickelung gemacht ist. Aeussere Multiplikation der Strecken. § 33 Verhältniss zur Addition zukomme *). Hiermit ist nun unsereVerknüpfung nach § 12 als Multiplikation nachgewiesen, und wir führen daher für sie auch sogleich die multiplikative Bezeichnung ein. Es ergiebt sich nun unmittelbar aus dem im vorigen § gege- benen Begriffe dieser Verknüpfungsweise, „dass ein Produkt, in welchem zwei Faktoren gleichartig, oder überhaupt in welchem die n Faktoren von einander abhängig sind, d. h. einem System von niederer Stufe als der n-ten angehören, als null zu betrachten ist;“ hierzu gehört auch der Fall, wo einer der Faktoren null ist, sofern einerseits die Null immer als abhängig gedacht werden kann, andererseits das mit ihr gebildete Produkt null ist. Aber auch umgekehrt folgt, „dass, wenn die Faktoren von einander unabhän- gig sind, das Produkt immer einen geltenden Werth habe,“ indem es dann einen bestimmten Theil jenes Systemes n-ter Stufe dar- stellt. Es bleibt uns nur noch übrig, zu zeigen, dass jene Be- ziehung auch für die Addition ungleichartiger Strecken gültig sei. Dies darzuthun, soll nun die Aufgabe der folgenden Paragraphen sein. § 33. Diese allgemeine Beziehung beruht bei zwei Faktoren *) Vergl. hier überall § 12, wo das gleiche Eingehen der Theile in die Ver-
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Aeussere Multiplikation der Strecken. § 33
Verhältniss zur Addition zukomme *). Hiermit ist nun unsere
Verknüpfung nach § 12 als Multiplikation nachgewiesen, und wir
führen daher für sie auch sogleich die multiplikative Bezeichnung
ein. Es ergiebt sich nun unmittelbar aus dem im vorigen § gege-
benen Begriffe dieser Verknüpfungsweise, „dass ein Produkt, in
welchem zwei Faktoren gleichartig, oder überhaupt in welchem die
n Faktoren von einander abhängig sind, d. h. einem System von
niederer Stufe als der n-ten angehören, als null zu betrachten
ist;“ hierzu gehört auch der Fall, wo einer der Faktoren null ist,
sofern einerseits die Null immer als abhängig gedacht werden kann,
andererseits das mit ihr gebildete Produkt null ist. Aber auch
umgekehrt folgt, „dass, wenn die Faktoren von einander unabhän-
gig sind, das Produkt immer einen geltenden Werth habe,“ indem
es dann einen bestimmten Theil jenes Systemes n-ter Stufe dar-
stellt. Es bleibt uns nur noch übrig, zu zeigen, dass jene Be-
ziehung auch für die Addition ungleichartiger Strecken gültig sei.
Dies darzuthun, soll nun die Aufgabe der folgenden Paragraphen
sein.
§ 33. Diese allgemeine Beziehung beruht bei zwei Faktoren
wesentlich auf dem Satze, dass wenn b und b1 gleichartige Strecken
sind,
[FORMEL] sei. Es sei, um dies zu erweisen, a=[αβ], wo α und β Ele-
mente sind (vergl. Fig. 10), und b1 =[βγ] also a+b1 = [αγ]
nach der Definition der Summe (§ 19). Ferner sei
[FORMEL] Nach dieser Bezeichnung ist nun die Ausdehnung [αββ´α´], wenn
wir darunter die von den Strecken αβ, ββ´, β´α´, α´α begränzte
Ausdehnung verstehen, gleich a. b und die Ausdehnung [αγγ´α´]
gleich [αγ]. b, d. h. gleich (a+b1). b und die Gleichheit dieser
beiden Ausdehnungen bleibt also zu erweisen. Vermöge der vor-
ausgesetzten Gleichartigkeit von b und b1 sind β, γ, β´, γ´ Ele-
mente desselben Systemes erster Stufe, und wenn wir zunächst
voraussetzen, dass b und b1 auch in gleichem Sinne erzeugt sind
*) Vergl. hier überall § 12, wo das gleiche Eingehen der Theile in die Ver-
knüpfung zum Princip der Entwickelung gemacht ist.
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