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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 35 Grundgesetz für mehr Faktoren.
setzen müssen, wo P ein Produkt von beliebig vielen Faktoren vor-
stellt. Da dieselbe Beziehung auch fortbesteht, wenn noch be-
liebig viele Faktoren folgen, so haben wir für diese besondere Art
der Multiplikation das Gesetz gewonnen, dass man, wenn ein Fak-
tor einen Summanden enthält, welcher mit einem der angränzen-
den Faktoren gleichartig ist, diesen Summanden weglassen kann,
worin denn schon liegt, dass, wenn zwei aneinander gränzende
Faktoren gleichartig werden, das Produkt null wird. Dies Gesetz,
in Verbindung mit der allgemeinen multiplikativen Beziehung zur
Addition des Gleichartigen, bedingt alle ferneren Gesetze dieser
besonderen Art der Multiplikation, die wir hier betrachten, und
kann daher als Grundgesetz für dieselbe aufgefasst werden. Wir nen-
nen diese Art der Multiplikation eine äussere, und wählen als specifi-
sches Zeichen für sie den Punkt, während wir das unmittelbare Anein-
anderschreiben als allgemeine Multiplikationsbezeichnung festhalten.

§ 35. Aus diesem Grundgesetze nun und jenem Beziehungs-
gesetze leiten wir die übrigen Gesetze dieser Multiplikation auf
rein formelle Weise ab. Man hat durch Kombination beider, wenn
P und Q beliebige Faktorenreihen, a1 und b1 aber Strecken be-
zeichnen, die mit a und b gleichartig sind,
[Formel 1] oder da a1+b1 jede Strecke vorstellen kann, welche in dem durch
a und b bestimmten Systeme zweiter Stufe liegt (nach dem Be-
griffe dieses Systems *)), so hat man, so lange a, b, c demselben
Systeme zweiter Stufe angehören,
[Formel 2] d. h. es gilt auch für diesen Fall noch die allgemeine multiplika-
tive Beziehung zur Addition. Hieraus nun folgt sogleich, dass
[Formel 3] ist, oder dass man zwei an einander gränzende Faktoren eines
äusseren Produktes, wenn sie Strecken sind, nur mit Zeichwechsel
vertauschen darf. In der That, da
[Formel 4] ist, weil zwei aneinander gränzende Faktoren gleichartig sind; so

*) Vergl. § 17.

§ 35 Grundgesetz für mehr Faktoren.
setzen müssen, wo P ein Produkt von beliebig vielen Faktoren vor-
stellt. Da dieselbe Beziehung auch fortbesteht, wenn noch be-
liebig viele Faktoren folgen, so haben wir für diese besondere Art
der Multiplikation das Gesetz gewonnen, dass man, wenn ein Fak-
tor einen Summanden enthält, welcher mit einem der angränzen-
den Faktoren gleichartig ist, diesen Summanden weglassen kann,
worin denn schon liegt, dass, wenn zwei aneinander gränzende
Faktoren gleichartig werden, das Produkt null wird. Dies Gesetz,
in Verbindung mit der allgemeinen multiplikativen Beziehung zur
Addition des Gleichartigen, bedingt alle ferneren Gesetze dieser
besonderen Art der Multiplikation, die wir hier betrachten, und
kann daher als Grundgesetz für dieselbe aufgefasst werden. Wir nen-
nen diese Art der Multiplikation eine äussere, und wählen als specifi-
sches Zeichen für sie den Punkt, während wir das unmittelbare Anein-
anderschreiben als allgemeine Multiplikationsbezeichnung festhalten.

§ 35. Aus diesem Grundgesetze nun und jenem Beziehungs-
gesetze leiten wir die übrigen Gesetze dieser Multiplikation auf
rein formelle Weise ab. Man hat durch Kombination beider, wenn
P und Q beliebige Faktorenreihen, a1 und b1 aber Strecken be-
zeichnen, die mit a und b gleichartig sind,
[Formel 1] oder da a1+b1 jede Strecke vorstellen kann, welche in dem durch
a und b bestimmten Systeme zweiter Stufe liegt (nach dem Be-
griffe dieses Systems *)), so hat man, so lange a, b, c demselben
Systeme zweiter Stufe angehören,
[Formel 2] d. h. es gilt auch für diesen Fall noch die allgemeine multiplika-
tive Beziehung zur Addition. Hieraus nun folgt sogleich, dass
[Formel 3] ist, oder dass man zwei an einander gränzende Faktoren eines
äusseren Produktes, wenn sie Strecken sind, nur mit Zeichwechsel
vertauschen darf. In der That, da
[Formel 4] ist, weil zwei aneinander gränzende Faktoren gleichartig sind; so

*) Vergl. § 17.
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[57/0093] § 35 Grundgesetz für mehr Faktoren. setzen müssen, wo P ein Produkt von beliebig vielen Faktoren vor- stellt. Da dieselbe Beziehung auch fortbesteht, wenn noch be- liebig viele Faktoren folgen, so haben wir für diese besondere Art der Multiplikation das Gesetz gewonnen, dass man, wenn ein Fak- tor einen Summanden enthält, welcher mit einem der angränzen- den Faktoren gleichartig ist, diesen Summanden weglassen kann, worin denn schon liegt, dass, wenn zwei aneinander gränzende Faktoren gleichartig werden, das Produkt null wird. Dies Gesetz, in Verbindung mit der allgemeinen multiplikativen Beziehung zur Addition des Gleichartigen, bedingt alle ferneren Gesetze dieser besonderen Art der Multiplikation, die wir hier betrachten, und kann daher als Grundgesetz für dieselbe aufgefasst werden. Wir nen- nen diese Art der Multiplikation eine äussere, und wählen als specifi- sches Zeichen für sie den Punkt, während wir das unmittelbare Anein- anderschreiben als allgemeine Multiplikationsbezeichnung festhalten. § 35. Aus diesem Grundgesetze nun und jenem Beziehungs- gesetze leiten wir die übrigen Gesetze dieser Multiplikation auf rein formelle Weise ab. Man hat durch Kombination beider, wenn P und Q beliebige Faktorenreihen, a1 und b1 aber Strecken be- zeichnen, die mit a und b gleichartig sind, [FORMEL] oder da a1+b1 jede Strecke vorstellen kann, welche in dem durch a und b bestimmten Systeme zweiter Stufe liegt (nach dem Be- griffe dieses Systems *)), so hat man, so lange a, b, c demselben Systeme zweiter Stufe angehören, [FORMEL] d. h. es gilt auch für diesen Fall noch die allgemeine multiplika- tive Beziehung zur Addition. Hieraus nun folgt sogleich, dass [FORMEL] ist, oder dass man zwei an einander gränzende Faktoren eines äusseren Produktes, wenn sie Strecken sind, nur mit Zeichwechsel vertauschen darf. In der That, da [FORMEL] ist, weil zwei aneinander gränzende Faktoren gleichartig sind; so *) Vergl. § 17.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 57. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/93>, abgerufen am 19.05.2024.