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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 37 Hauptgesetz -- Anwendungen.

§ 37. Wir haben nun hier den Zusammenhang der Multipli-
kation mit dem bisherigen Begriff der Addition vollständig darge-
legt, und gehen daher zu den Anwendungen über. Die Anwendung
auf die Geometrie haben wir der Hauptsache nach in § 28--30
vorweggenommen. Wir haben jedoch noch die jetzt eingeführten
Benennungen und Bezeichnungen auf jene Darstellung zu übertra-
gen. Es erscheint danach nun der Flächenraum des Spathecks
(Parallelogramms) als äusseres Produkt zweier Strecken, wenn
man nämlich zugleich die Ebene mit festhält, welchem dasselbe
angehört, und ebenso der Körperraum des Spathes (Paralellelepi-
pedon's) als äusseres Produkt dreier Strecken, ohne dass man hier
nöthig hat, eine Bestimmung hinzuzufügen, da der Raum stets ein
und derselbe ist. Jene zwei Strecken bildeten dann die Seiten
des Spathecks, und diese drei die Kanten des Spathes, und zwar
nahmen wir dort die Strecke, durch deren Bewegung das Spatheck
entstand, als ersten, die die Bewegung messende als zweiten Faktor
an, und setzten zwei Spathecke als gleich bezeichnet, wenn der
zweite Faktor vom ersten aus betrachtet nach derselben Seite hin
liegt, wenn nach entgegengesetzter, als entgegengesetzt bezeichnet.
Hierin liegt schon das Gesetz, dass
[Formel 1] ist; denn wenn b von a aus betrachtet nach links liegt, so muss a
von b aus betrachtet nach rechts hin liegen und umgekehrt. Allein
um diesem Vertauschungsgesetz, was die hier aufgestellte Multipli-
kation auf eine so auffallende Weise von der gewöhnlichen aus-
scheidet, eine noch anschaulichere Basis zu geben, will ich auch
jenes allgemeinere Zeichengesetz, von dem dieses eine specielle
Folgerung enthält, auf geometrische Weise ableiten. Zuerst ist
aus dem Begriff des Negativen klar, dass, wenn Grundseite und
Höhenseite *) eines Spathecks gleiche Richtungen **) beibehalten,
auch der Flächenraum gleichbezeichnet bleibt, wie sich im Uebri-
gen auch jene Seiten vergrössern oder verkleinern mögen. Wenn

*) Diesen Namen gebrauche ich in Ermangelung eines bessern, um die der
Grundseite anliegende Seite (den zweiten Faktor) zu bezeichnen.
**) Entgegengesetzte Richtungen werden natürlich nicht als gleiche ge-
rechnet.
§ 37 Hauptgesetz — Anwendungen.

§ 37. Wir haben nun hier den Zusammenhang der Multipli-
kation mit dem bisherigen Begriff der Addition vollständig darge-
legt, und gehen daher zu den Anwendungen über. Die Anwendung
auf die Geometrie haben wir der Hauptsache nach in § 28—30
vorweggenommen. Wir haben jedoch noch die jetzt eingeführten
Benennungen und Bezeichnungen auf jene Darstellung zu übertra-
gen. Es erscheint danach nun der Flächenraum des Spathecks
(Parallelogramms) als äusseres Produkt zweier Strecken, wenn
man nämlich zugleich die Ebene mit festhält, welchem dasselbe
angehört, und ebenso der Körperraum des Spathes (Paralellelepi-
pedon’s) als äusseres Produkt dreier Strecken, ohne dass man hier
nöthig hat, eine Bestimmung hinzuzufügen, da der Raum stets ein
und derselbe ist. Jene zwei Strecken bildeten dann die Seiten
des Spathecks, und diese drei die Kanten des Spathes, und zwar
nahmen wir dort die Strecke, durch deren Bewegung das Spatheck
entstand, als ersten, die die Bewegung messende als zweiten Faktor
an, und setzten zwei Spathecke als gleich bezeichnet, wenn der
zweite Faktor vom ersten aus betrachtet nach derselben Seite hin
liegt, wenn nach entgegengesetzter, als entgegengesetzt bezeichnet.
Hierin liegt schon das Gesetz, dass
[Formel 1] ist; denn wenn b von a aus betrachtet nach links liegt, so muss a
von b aus betrachtet nach rechts hin liegen und umgekehrt. Allein
um diesem Vertauschungsgesetz, was die hier aufgestellte Multipli-
kation auf eine so auffallende Weise von der gewöhnlichen aus-
scheidet, eine noch anschaulichere Basis zu geben, will ich auch
jenes allgemeinere Zeichengesetz, von dem dieses eine specielle
Folgerung enthält, auf geometrische Weise ableiten. Zuerst ist
aus dem Begriff des Negativen klar, dass, wenn Grundseite und
Höhenseite *) eines Spathecks gleiche Richtungen **) beibehalten,
auch der Flächenraum gleichbezeichnet bleibt, wie sich im Uebri-
gen auch jene Seiten vergrössern oder verkleinern mögen. Wenn

*) Diesen Namen gebrauche ich in Ermangelung eines bessern, um die der
Grundseite anliegende Seite (den zweiten Faktor) zu bezeichnen.
**) Entgegengesetzte Richtungen werden natürlich nicht als gleiche ge-
rechnet.
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[61/0097] § 37 Hauptgesetz — Anwendungen. § 37. Wir haben nun hier den Zusammenhang der Multipli- kation mit dem bisherigen Begriff der Addition vollständig darge- legt, und gehen daher zu den Anwendungen über. Die Anwendung auf die Geometrie haben wir der Hauptsache nach in § 28—30 vorweggenommen. Wir haben jedoch noch die jetzt eingeführten Benennungen und Bezeichnungen auf jene Darstellung zu übertra- gen. Es erscheint danach nun der Flächenraum des Spathecks (Parallelogramms) als äusseres Produkt zweier Strecken, wenn man nämlich zugleich die Ebene mit festhält, welchem dasselbe angehört, und ebenso der Körperraum des Spathes (Paralellelepi- pedon’s) als äusseres Produkt dreier Strecken, ohne dass man hier nöthig hat, eine Bestimmung hinzuzufügen, da der Raum stets ein und derselbe ist. Jene zwei Strecken bildeten dann die Seiten des Spathecks, und diese drei die Kanten des Spathes, und zwar nahmen wir dort die Strecke, durch deren Bewegung das Spatheck entstand, als ersten, die die Bewegung messende als zweiten Faktor an, und setzten zwei Spathecke als gleich bezeichnet, wenn der zweite Faktor vom ersten aus betrachtet nach derselben Seite hin liegt, wenn nach entgegengesetzter, als entgegengesetzt bezeichnet. Hierin liegt schon das Gesetz, dass [FORMEL] ist; denn wenn b von a aus betrachtet nach links liegt, so muss a von b aus betrachtet nach rechts hin liegen und umgekehrt. Allein um diesem Vertauschungsgesetz, was die hier aufgestellte Multipli- kation auf eine so auffallende Weise von der gewöhnlichen aus- scheidet, eine noch anschaulichere Basis zu geben, will ich auch jenes allgemeinere Zeichengesetz, von dem dieses eine specielle Folgerung enthält, auf geometrische Weise ableiten. Zuerst ist aus dem Begriff des Negativen klar, dass, wenn Grundseite und Höhenseite *) eines Spathecks gleiche Richtungen **) beibehalten, auch der Flächenraum gleichbezeichnet bleibt, wie sich im Uebri- gen auch jene Seiten vergrössern oder verkleinern mögen. Wenn *) Diesen Namen gebrauche ich in Ermangelung eines bessern, um die der Grundseite anliegende Seite (den zweiten Faktor) zu bezeichnen. **) Entgegengesetzte Richtungen werden natürlich nicht als gleiche ge- rechnet.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 61. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/97>, abgerufen am 19.05.2024.