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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

man statt der rechtwinkligen Coordinaten a, b und g Kugelcoordinaten ein,
indem man setzt:

,
dann wird

Ist also die mit da db dg unter dem Integrationszeichen multiplicirte Grösse
für r = 0 entweder endlich, wie qfr, oder von der Ordnung , wie und
xfr, welches gleich ist, so wird die zu integrirende Grösse unendlich
klein und über einen unendlich kleinen Raum integrirt. Daher werden die
Grössen Ps' Ps", Ps0 (wegen (5c.)) und x Ps' unendlich klein. Dagegen ist
xPs" endlich und hat den bekannten Werth
.

Folglich wird aus (5b.) und (5c.)

und, indem wir die unendlich kleinen Grössen gegen die endliche vernach-
lässigen,
(3.) ,
was zu erweisen war.

§. 4.

Es lässt sich für die hier untersuchten Formen von Geschwindigkeits-
potentialen ferner dieselbe Relation erweisen, welche für die Potentialfunctionen
electrischer Massen an solchen Flächen stattfindet, die mit endlichen Massen
in unendlich dünner Schicht belegt sind.

Setzen wir
(6.) ,
wo do das Flächenelement einer beliebigen Fläche O bezeichnet und p eine
Function, die sich in der Fläche continuirlich ändert, und untersuchen die er-
sten Differentialquotienten von Ps für solche Punkte x, y, z des Raumes,
welche der Fläche O unendlich nahe liegen.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

man statt der rechtwinkligen Coordinaten α, β und γ Kugelcoordinaten ein,
indem man setzt:

,
dann wird

Ist also die mit dα dβ dγ unter dem Integrationszeichen multiplicirte Gröſse
für r = 0 entweder endlich, wie qfr, oder von der Ordnung , wie und
∇xfr, welches gleich ist, so wird die zu integrirende Gröſse unendlich
klein und über einen unendlich kleinen Raum integrirt. Daher werden die
Gröſsen Ψ' Ψ″, Ψ0 (wegen (5c.)) und ∇x Ψ' unendlich klein. Dagegen ist
∇xΨ″ endlich und hat den bekannten Werth
.

Folglich wird aus (5b.) und (5c.)

und, indem wir die unendlich kleinen Gröſsen gegen die endliche vernach-
lässigen,
(3.) ,
was zu erweisen war.

§. 4.

Es läſst sich für die hier untersuchten Formen von Geschwindigkeits-
potentialen ferner dieselbe Relation erweisen, welche für die Potentialfunctionen
electrischer Massen an solchen Flächen stattfindet, die mit endlichen Massen
in unendlich dünner Schicht belegt sind.

Setzen wir
(6.) ,
wo dω das Flächenelement einer beliebigen Fläche Ω bezeichnet und p eine
Function, die sich in der Fläche continuirlich ändert, und untersuchen die er-
sten Differentialquotienten von Ψ für solche Punkte x, y, z des Raumes,
welche der Fläche Ω unendlich nahe liegen.

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[20/0030] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. man statt der rechtwinkligen Coordinaten α, β und γ Kugelcoordinaten ein, indem man setzt: [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL], dann wird [FORMEL]. Ist also die mit dα dβ dγ unter dem Integrationszeichen multiplicirte Gröſse für r = 0 entweder endlich, wie qfr, oder von der Ordnung [FORMEL], wie [FORMEL] und ∇xfr, welches gleich [FORMEL] ist, so wird die zu integrirende Gröſse unendlich klein und über einen unendlich kleinen Raum integrirt. Daher werden die Gröſsen Ψ' Ψ″, Ψ0 (wegen (5c.)) und ∇x Ψ' unendlich klein. Dagegen ist ∇xΨ″ endlich und hat den bekannten Werth [FORMEL]. Folglich wird aus (5b.) und (5c.) [FORMEL] und, indem wir die unendlich kleinen Gröſsen gegen die endliche vernach- lässigen, (3.) [FORMEL], was zu erweisen war. §. 4. Es läſst sich für die hier untersuchten Formen von Geschwindigkeits- potentialen ferner dieselbe Relation erweisen, welche für die Potentialfunctionen electrischer Massen an solchen Flächen stattfindet, die mit endlichen Massen in unendlich dünner Schicht belegt sind. Setzen wir (6.) [FORMEL], wo dω das Flächenelement einer beliebigen Fläche Ω bezeichnet und p eine Function, die sich in der Fläche continuirlich ändert, und untersuchen die er- sten Differentialquotienten von Ψ für solche Punkte x, y, z des Raumes, welche der Fläche Ω unendlich nahe liegen.

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Zitationshilfe:	Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/30>, abgerufen am 22.12.2024.

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