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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
fläche hergestellt sein, wenn in allen Punkten derselben
und oder .

§. 5.

Wir müssen noch die Grenzbedingungen aufstellen für solche unendlich
entfernt gedachte Oberflächen, durch welche Schallwellen in den unendlichen
Raum hinauslaufen, und jenseits welcher es keine Erregungspunkte mehr giebt.
Wenn von einem einzelnen Punkte aus in der vorher unbewegten Luft eine
Erschütterung ausgeht, so hat das Geschwindigkeitspotential bekanntlich die
Form , wo F eine willkührliche Function, a die Schallgeschwindig-
keit, r die Entfernung vom Erregungspunkte a, b, g bezeichnet. Soll F
einer einfach periodischen Bewegung von n Perioden in der Secunde ent-
sprechen, so müssen wir ihm die Form geben , wo
2pn = ak, wie in (3a.) festgesetzt ist. Haben wir nun eine beliebige Anzahl
Schall erregender Punkte in endlicher Entfernung vom Anfangspunkte der
Coordinaten, so dass das Geschwindigkeitspotential Ps von der Form wird:
(8.)
wo ra die Entfernung vom Punkte a, Aa und ga Constanten bezeichnen, die
für die verschiedenen Punkte verschieden sind, und setzen wir die Coor-
dinaten x, y, z des Punktes, in dem die Schallbewegung bestimmt werden
soll, gleich
rcos o, r sin o cos th, r sin o sin th,
für den Punkt a aber gleich
aa, ba, ga,
so ist
,
und für unendlich grosse Werthe von r wird
,
indem wir die weiteren Glieder vernachlässigen, welche r im Nenner ent-
halten und deshalb unendlich klein werden. Danach wird nun der Werth
von Ps, wenn wir nur die Glieder von der Ordnung beibehalten,

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
fläche hergestellt sein, wenn in allen Punkten derselben
und oder .

§. 5.

Wir müssen noch die Grenzbedingungen aufstellen für solche unendlich
entfernt gedachte Oberflächen, durch welche Schallwellen in den unendlichen
Raum hinauslaufen, und jenseits welcher es keine Erregungspunkte mehr giebt.
Wenn von einem einzelnen Punkte aus in der vorher unbewegten Luft eine
Erschütterung ausgeht, so hat das Geschwindigkeitspotential bekanntlich die
Form , wo F eine willkührliche Function, a die Schallgeschwindig-
keit, r die Entfernung vom Erregungspunkte α, β, γ bezeichnet. Soll F
einer einfach periodischen Bewegung von n Perioden in der Secunde ent-
sprechen, so müssen wir ihm die Form geben , wo
2πn = ak, wie in (3a.) festgesetzt ist. Haben wir nun eine beliebige Anzahl
Schall erregender Punkte in endlicher Entfernung vom Anfangspunkte der
Coordinaten, so daſs das Geschwindigkeitspotential Ψ von der Form wird:
(8.)
wo ra die Entfernung vom Punkte a, Aa und ga Constanten bezeichnen, die
für die verschiedenen Punkte verschieden sind, und setzen wir die Coor-
dinaten x, y, z des Punktes, in dem die Schallbewegung bestimmt werden
soll, gleich
ϱcos ω, ϱ sin ω cos ϑ, ϱ sin ω sin ϑ,
für den Punkt a aber gleich
αa, βa, γa,
so ist
,
und für unendlich groſse Werthe von ϱ wird
,
indem wir die weiteren Glieder vernachlässigen, welche ϱ im Nenner ent-
halten und deshalb unendlich klein werden. Danach wird nun der Werth
von Ψ, wenn wir nur die Glieder von der Ordnung beibehalten,

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[26/0036] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. fläche hergestellt sein, wenn in allen Punkten derselben [FORMEL] und [FORMEL] oder [FORMEL]. §. 5. Wir müssen noch die Grenzbedingungen aufstellen für solche unendlich entfernt gedachte Oberflächen, durch welche Schallwellen in den unendlichen Raum hinauslaufen, und jenseits welcher es keine Erregungspunkte mehr giebt. Wenn von einem einzelnen Punkte aus in der vorher unbewegten Luft eine Erschütterung ausgeht, so hat das Geschwindigkeitspotential bekanntlich die Form [FORMEL], wo F eine willkührliche Function, a die Schallgeschwindig- keit, r die Entfernung vom Erregungspunkte α, β, γ bezeichnet. Soll F einer einfach periodischen Bewegung von n Perioden in der Secunde ent- sprechen, so müssen wir ihm die Form geben [FORMEL], wo 2πn = ak, wie in (3a.) festgesetzt ist. Haben wir nun eine beliebige Anzahl Schall erregender Punkte in endlicher Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten, so daſs das Geschwindigkeitspotential Ψ von der Form wird: (8.) [FORMEL] wo ra die Entfernung vom Punkte a, Aa und ga Constanten bezeichnen, die für die verschiedenen Punkte verschieden sind, und setzen wir die Coor- dinaten x, y, z des Punktes, in dem die Schallbewegung bestimmt werden soll, gleich ϱcos ω, ϱ sin ω cos ϑ, ϱ sin ω sin ϑ, für den Punkt a aber gleich αa, βa, γa, so ist [FORMEL], und für unendlich groſse Werthe von ϱ wird [FORMEL], indem wir die weiteren Glieder vernachlässigen, welche ϱ im Nenner ent- halten und deshalb unendlich klein werden. Danach wird nun der Werth von Ψ, wenn wir nur die Glieder von der Ordnung [FORMEL] beibehalten,

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 26. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/36>, abgerufen am 22.12.2024.