Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Ausserdem möge an der Ober-fläche der festen Körper die Gleichung das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor- den ist, so dass in unendlich kleiner Entfernung von b Ph unendlich wird, wie in unendlicher Entfernung r dagegen sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor- dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muss Ph wie Ps überall sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch Wenn wir nun bedenken, dass Ps und Ph von der Form sein müssen: Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muss, so muss Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Auſserdem möge an der Ober-fläche der festen Körper die Gleichung das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor- den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie in unendlicher Entfernung ϱ dagegen sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor- dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen: Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0038" n="28"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> von derselben Form wie in Gleichung (8<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) sei. Auſserdem möge an der Ober-<lb/> fläche der festen Körper die Gleichung <formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dn} = 0</formula> stattfinden. Es sei ferner Φ<lb/> das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte <hi rendition="#i">b</hi> erregt wor-<lb/> den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von <hi rendition="#i">b</hi> Φ unendlich wird, wie<lb/><formula notation="TeX">\Phi = A\frac{\cos kr_b}{r_b}\cos(2\pi nt)</formula>,<lb/> in unendlicher Entfernung ϱ dagegen<lb/><formula notation="TeX">\Phi = \mathfrak{B}\frac{\cos[k\rho - 2\pi nt + \delta]}{\rho}</formula><lb/> sei, wo <hi rendition="#fr">B</hi> und <hi rendition="#fr">d</hi> nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-<lb/> dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall<lb/> sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper <formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dn} = 0</formula>.</p><lb/> <p>Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> an, der durch<lb/> eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten<lb/> beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen<lb/> alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die<lb/> Integration an den Punkten <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi>, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden,<lb/> findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) statt. Wir erhalten<lb/> (9.) <formula notation="TeX">\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 4\pi A[\Psi_b\cos(2\pi nt) - \Phi_a\cos2\pi nt]</formula>,<lb/> wo Ψ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">b</hi></hi> den Werth von Ψ im Punkte <hi rendition="#i">b</hi>, und Φ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">a</hi></hi> den von Φ im Punkte <hi rendition="#i">a</hi><lb/> bezeichnet. Die Integration nach <hi rendition="#i">dω</hi> ist sowohl über die Oberflächen der vor-<lb/> handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber <formula notation="TeX">\frac{d\Phi}{dn} = \frac{d\Psi}{dn} = 0</formula>, so daſs<lb/> diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun<lb/><formula notation="TeX">\Psi\frac{d\Phi}{dn} - \Phi\frac{d\Psi}{dn} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}k\sin(\delta - c)</formula>.</p><lb/> <p>Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen:<lb/><formula notation="TeX">\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\Phi = \Phi'\cos(2\pi nt) + \Phi''\sin(2\pi nt)</formula>,<lb/> wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird<lb/><formula notation="TeX">\Psi_b\cos(2\pi nt)-\Phi_a\cos(2\pi nt)</formula><lb/><formula notation="TeX">= \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] + \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] \cos(4\pi nt) + \tfrac{1}{2}[\Psi''_b - \Phi''_a]\sin(4\pi nt)</formula>.</p><lb/> <p>Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von <hi rendition="#i">t</hi> erfüllt sein muſs, so muſs<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [28/0038]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von derselben Form wie in Gleichung (8b.) sei. Auſserdem möge an der Ober-
fläche der festen Körper die Gleichung [FORMEL] stattfinden. Es sei ferner Φ
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor-
den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie
[FORMEL],
in unendlicher Entfernung ϱ dagegen
[FORMEL]
sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper [FORMEL].
Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch
eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die
Integration an den Punkten a und b, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden,
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7c.) statt. Wir erhalten
(9.) [FORMEL],
wo Ψb den Werth von Ψ im Punkte b, und Φa den von Φ im Punkte a
bezeichnet. Die Integration nach dω ist sowohl über die Oberflächen der vor-
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber [FORMEL], so daſs
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
[FORMEL].
Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen:
[FORMEL],
[FORMEL],
wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird
[FORMEL]
[FORMEL].
Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs
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