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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Ph aber bekommt den Werth
,
weil an der yz-Ebene r, = r,, ist. So erhalten wir die Gleichung
(11c.) .

Setzen wir nun nach Gleichung (10b.)
(10b.) ,
so können wir in der Gleichung (11c.), welche für alle Werthe von t erfüllt
sein muss, die Quadrate und Producte von cos(2p nt) und sin (2p nt) durch
cos(4p nt) und sin (4p nt) ausdrücken und dann einzeln gleich Null setzen:
1) die Glieder, welche nach der Zeit constant sind, 2) die Glieder, welche
mit cos(4p nt) multiplicirt sind und 3) die mit sin (4p nt) multiplicirten, und
erhalten dadurch folgende drei Gleichungen:

(11d.) ,
,
.
Die Integrationen sind über die Oeffnung der Röhre auszudehnen. Durch
die beiden letzten Gleichungen ist der Werth der Functionen Ps' und Ps" für
alle Punkte des Raumes auf Seite der positiven x gegeben, wenn die Werthe
von und in der Oeffnung der Röhre bekannt sind. Die erste Glei-
chung folgt aus den beiden anderen mittelst des Theorems (7d.). Der Werth
von Psa wird demnach:
(11e.) .

Wenn wir statt der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten ein-
führen, nämlich
a = r cos o, b = r sin o cos th, g = r sin o sin th,
so wird in unendlich grosser Entfernung r vom Anfangspunkte der Coordinaten
mittelst einer ähnlichen Umformung, wie sie in (8a.) ausgeführt ist,
(10a.) ,

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Φ aber bekommt den Werth
,
weil an der yz-Ebene r͵ = r͵͵ ist. So erhalten wir die Gleichung
(11c.) .

Setzen wir nun nach Gleichung (10b.)
(10b.) ,
so können wir in der Gleichung (11c.), welche für alle Werthe von t erfüllt
sein muſs, die Quadrate und Producte von cos(2π nt) und sin (2π nt) durch
cos(4π nt) und sin (4π nt) ausdrücken und dann einzeln gleich Null setzen:
1) die Glieder, welche nach der Zeit constant sind, 2) die Glieder, welche
mit cos(4π nt) multiplicirt sind und 3) die mit sin (4π nt) multiplicirten, und
erhalten dadurch folgende drei Gleichungen:

(11d.) ,
,
.
Die Integrationen sind über die Oeffnung der Röhre auszudehnen. Durch
die beiden letzten Gleichungen ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für
alle Punkte des Raumes auf Seite der positiven x gegeben, wenn die Werthe
von und in der Oeffnung der Röhre bekannt sind. Die erste Glei-
chung folgt aus den beiden anderen mittelst des Theorems (7d.). Der Werth
von Ψα wird demnach:
(11e.) .

Wenn wir statt der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten ein-
führen, nämlich
α = ϱ cos ω, β = ϱ sin ω cos ϑ, γ = ϱ sin ω sin ϑ,
so wird in unendlich groſser Entfernung ϱ vom Anfangspunkte der Coordinaten
mittelst einer ähnlichen Umformung, wie sie in (8a.) ausgeführt ist,
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[34/0044] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Φ aber bekommt den Werth [FORMEL], weil an der yz-Ebene r͵ = r͵͵ ist. So erhalten wir die Gleichung (11c.) [FORMEL]. Setzen wir nun nach Gleichung (10b.) (10b.) [FORMEL], so können wir in der Gleichung (11c.), welche für alle Werthe von t erfüllt sein muſs, die Quadrate und Producte von cos(2π nt) und sin (2π nt) durch cos(4π nt) und sin (4π nt) ausdrücken und dann einzeln gleich Null setzen: 1) die Glieder, welche nach der Zeit constant sind, 2) die Glieder, welche mit cos(4π nt) multiplicirt sind und 3) die mit sin (4π nt) multiplicirten, und erhalten dadurch folgende drei Gleichungen: (11d.) [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL]. Die Integrationen sind über die Oeffnung der Röhre auszudehnen. Durch die beiden letzten Gleichungen ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für alle Punkte des Raumes auf Seite der positiven x gegeben, wenn die Werthe von [FORMEL] und [FORMEL] in der Oeffnung der Röhre bekannt sind. Die erste Glei- chung folgt aus den beiden anderen mittelst des Theorems (7d.). Der Werth von Ψα wird demnach: (11e.) [FORMEL]. Wenn wir statt der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten ein- führen, nämlich α = ϱ cos ω, β = ϱ sin ω cos ϑ, γ = ϱ sin ω sin ϑ, so wird in unendlich groſser Entfernung ϱ vom Anfangspunkte der Coordinaten mittelst einer ähnlichen Umformung, wie sie in (8a.) ausgeführt ist, (10a.) [FORMEL],

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 34. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/44>, abgerufen am 22.12.2024.