Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. teren Theilen des freien Raumes liegen sie, wenn Ihr Abstand von denen in der Röhre beträgt also dann (a + b + 1/4) l -- a, wächst allmälig auf (a + b + 1/2) l -- a, sinkt schnell auf (a + b) l -- a, wächst dann wieder allmälig u. s. w. Sowohl die Maxima des Druckes wie der Ge- schwindigkeit haben ihren grössten Werth in der Röhre, wenn sie stillstehen, ihren kleinsten, wenn sie vorwärts eilen. Uebrigens eilen die Maxima der Ge- schwindigkeit vorwärts zu den Zeiten und an den Orten, wo die des Druckes stillstehen, und umgekehrt. Stärke der Resonanz in der Röhre. Denkt man sich die Röhre Die Geschwindigkeit der der Schlussplatte mitgetheilten Bewegung sei Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. teren Theilen des freien Raumes liegen sie, wenn Ihr Abstand von denen in der Röhre beträgt also dann (a + b + ¼) λ — α, wächst allmälig auf (a + b + ½) λ — α, sinkt schnell auf (a + b) λ — α, wächst dann wieder allmälig u. s. w. Sowohl die Maxima des Druckes wie der Ge- schwindigkeit haben ihren gröſsten Werth in der Röhre, wenn sie stillstehen, ihren kleinsten, wenn sie vorwärts eilen. Uebrigens eilen die Maxima der Ge- schwindigkeit vorwärts zu den Zeiten und an den Orten, wo die des Druckes stillstehen, und umgekehrt. Stärke der Resonanz in der Röhre. Denkt man sich die Röhre Die Geschwindigkeit der der Schluſsplatte mitgetheilten Bewegung sei <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0055" n="45"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> teren Theilen des freien Raumes liegen sie, wenn <formula notation="TeX">t = \frac{1}{4n}</formula>, da, wo ϱ = (<hi rendition="#fr">b</hi> + ½) λ.<lb/> Ihr Abstand von denen in der Röhre beträgt also dann (<hi rendition="#fr">a + b</hi> + ¼) λ — α,<lb/> wächst allmälig auf (<hi rendition="#fr">a + b</hi> + ½) λ — α, sinkt schnell auf (<hi rendition="#fr">a + b</hi>) λ — α, wächst<lb/> dann wieder allmälig u. s. w. Sowohl die Maxima des Druckes wie der Ge-<lb/> schwindigkeit haben ihren gröſsten Werth in der Röhre, wenn sie stillstehen,<lb/> ihren kleinsten, wenn sie vorwärts eilen. Uebrigens eilen die Maxima der Ge-<lb/> schwindigkeit vorwärts zu den Zeiten und an den Orten, wo die des Druckes<lb/> stillstehen, und umgekehrt.</p><lb/> <p><hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Stärke der Resonanz in der Röhre</hi></hi>. Denkt man sich die Röhre<lb/> nur bis <hi rendition="#i">x = — <hi rendition="#b">l</hi></hi> reichend und ihr Ende im Bereiche der ebenen Wellen ge-<lb/> legen, so kann die Erschütterung der Luft in der Röhre entweder an diesem<lb/> Ende mitgetheilt werden oder von der vorderen Oeffnung der Röhre her,<lb/> indem ein Schallwellenzug gegen die Mündung der Röhre schlägt. Was zu-<lb/> nächst den ersten Fall betrifft, so kann nach Feststellung der Form der ebenen<lb/> Wellen leicht der Fall behandelt werden, wo die Röhre durch irgend eine<lb/> Platte von beliebiger Masse geschlossen ist, welche durch irgend eine elastische<lb/> Kraft (z. B. einer über die Mündung der Röhre ausgespannten Membran) in<lb/> ihrer Lage gehalten und durch eine beliebige periodisch wirkende Kraft in<lb/> Erschütterung versetzt wird. Es läſst sich dann für jede Röhrenform und<lb/> Tonhöhe, für welche der Werth der Constanten α bekannt ist, sowohl die Form<lb/> der ebenen Wellen als der Kugelwellen in den entfernteren Theilen des freien<lb/> Raumes vollständig angeben. Hier genüge es, nur kurz den Fall zu erwäh-<lb/> nen, wo eine Bewegung von bestimmter Geschwindigkeit mitgetheilt wird, der<lb/> also practisch etwa dem Falle entspricht, wo eine Stimmgabel die Schluſsplatte<lb/> der Röhre erschüttert.</p><lb/> <p>Die Geschwindigkeit der der Schluſsplatte mitgetheilten Bewegung sei<lb/><formula notation="TeX">G\cos(2\pi nt+\tau_{\prime\prime})</formula>,<lb/> wo wir unter τ͵͵ eine willkürliche Constante verstehen, mittelst deren wir den<lb/> Anfang von <hi rendition="#i">t</hi> passend bestimmen. Dann muſs sein für <hi rendition="#i">x = — l</hi><lb/><formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dx} = J\cos(2\pi nt + \tau) = G\cos(2\pi nt + \tau_{\prime\prime})</formula>,<lb/> also<lb/> (15.) <formula notation="TeX">G = J = A\sqrt{\frac{\cos^2k(l + \alpha)}{\cos^2k\alpha}+\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\sin^2kl}</formula>,<lb/> (15<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\operatorname{tang}\tau_{\prime\prime} = \operatorname{tang}\tau = \frac{k^2Q\sin kl\cos k\alpha}{2\pi\cos k(l+\alpha)}</formula>.<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [45/0055]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
teren Theilen des freien Raumes liegen sie, wenn [FORMEL], da, wo ϱ = (b + ½) λ.
Ihr Abstand von denen in der Röhre beträgt also dann (a + b + ¼) λ — α,
wächst allmälig auf (a + b + ½) λ — α, sinkt schnell auf (a + b) λ — α, wächst
dann wieder allmälig u. s. w. Sowohl die Maxima des Druckes wie der Ge-
schwindigkeit haben ihren gröſsten Werth in der Röhre, wenn sie stillstehen,
ihren kleinsten, wenn sie vorwärts eilen. Uebrigens eilen die Maxima der Ge-
schwindigkeit vorwärts zu den Zeiten und an den Orten, wo die des Druckes
stillstehen, und umgekehrt.
Stärke der Resonanz in der Röhre. Denkt man sich die Röhre
nur bis x = — l reichend und ihr Ende im Bereiche der ebenen Wellen ge-
legen, so kann die Erschütterung der Luft in der Röhre entweder an diesem
Ende mitgetheilt werden oder von der vorderen Oeffnung der Röhre her,
indem ein Schallwellenzug gegen die Mündung der Röhre schlägt. Was zu-
nächst den ersten Fall betrifft, so kann nach Feststellung der Form der ebenen
Wellen leicht der Fall behandelt werden, wo die Röhre durch irgend eine
Platte von beliebiger Masse geschlossen ist, welche durch irgend eine elastische
Kraft (z. B. einer über die Mündung der Röhre ausgespannten Membran) in
ihrer Lage gehalten und durch eine beliebige periodisch wirkende Kraft in
Erschütterung versetzt wird. Es läſst sich dann für jede Röhrenform und
Tonhöhe, für welche der Werth der Constanten α bekannt ist, sowohl die Form
der ebenen Wellen als der Kugelwellen in den entfernteren Theilen des freien
Raumes vollständig angeben. Hier genüge es, nur kurz den Fall zu erwäh-
nen, wo eine Bewegung von bestimmter Geschwindigkeit mitgetheilt wird, der
also practisch etwa dem Falle entspricht, wo eine Stimmgabel die Schluſsplatte
der Röhre erschüttert.
Die Geschwindigkeit der der Schluſsplatte mitgetheilten Bewegung sei
[FORMEL],
wo wir unter τ͵͵ eine willkürliche Constante verstehen, mittelst deren wir den
Anfang von t passend bestimmen. Dann muſs sein für x = — l
[FORMEL],
also
(15.) [FORMEL],
(15a.) [FORMEL].
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