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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
In der That sind dann auch alle diese Functionen von einer solchen Form,
dass sich ihr Werth in der Nähe der Mündung nicht ändert dadurch, dass man
k = 0 setzt. Die Bedingung (18d.) ergiebt, dass die Röhrenwand eine zu allen
Flächen, deren Gleichung Psi = Const. ist, orthogonale Rotationsfläche sein muss,
oder wenn wir die Gleichung der Röhrenwand (und überhaupt der Strömungs-
curven) ausdrücken durch
,
so muss sein:
(22a.) .

Zu bemerken ist noch, dass man, um die Form der Function Ph
festzustellen, die Grösse des Radius des cylindrischen Theiles der Röhre R1
bestimmen muss, weil von dessen Grösse die in der Summe vorkommenden
Werthe von m abhängen. Um Pi und Pl zu finden, muss wiederum die
Grösse des Radius der Oeffnung R festgestellt sein, und schliesslich, wenn
man die Röhrenform aus der Gleichung bestimmt, wird die Stromes-
curve, welche von dem Rande der Oeffnung ausgeht, nicht nothwendig in
einen Cylinder vom Radius R1 übergehen. Um dies nun zu bewirken, muss
man eine der Constanten von Ph durch die oben gefundene Gleichung
(12b.)
bestimmen, worin in unserem Falle Q der Querschnitt der Röhre
,
.
Daraus folgt:
(22b.) .
Wenn R und R1 gegeben sind, giebt diese Gleichung eine Bedingung, welche
durch die Coefficienten des Ausdrucks für Ph in (22.) erfüllt werden muss,
so dass einer von ihnen durch die anderen bestimmt werden kann.

§. 9.

Wir wollen endlich noch die Röhrenformen berechnen, welche den
einfachsten Annahmen über die Function Ph entsprechen. Setzen wir
(23.) ,

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
In der That sind dann auch alle diese Functionen von einer solchen Form,
daſs sich ihr Werth in der Nähe der Mündung nicht ändert dadurch, daſs man
k = 0 setzt. Die Bedingung (18d.) ergiebt, daſs die Röhrenwand eine zu allen
Flächen, deren Gleichung Ψi = Const. ist, orthogonale Rotationsfläche sein muſs,
oder wenn wir die Gleichung der Röhrenwand (und überhaupt der Strömungs-
curven) ausdrücken durch
,
so muſs sein:
(22a.) .

Zu bemerken ist noch, daſs man, um die Form der Function Φ
festzustellen, die Gröſse des Radius des cylindrischen Theiles der Röhre R1
bestimmen muſs, weil von dessen Gröſse die in der Summe vorkommenden
Werthe von m abhängen. Um Pi und Pl zu finden, muſs wiederum die
Gröſse des Radius der Oeffnung R festgestellt sein, und schlieſslich, wenn
man die Röhrenform aus der Gleichung bestimmt, wird die Stromes-
curve, welche von dem Rande der Oeffnung ausgeht, nicht nothwendig in
einen Cylinder vom Radius R1 übergehen. Um dies nun zu bewirken, muſs
man eine der Constanten von Φ durch die oben gefundene Gleichung
(12b.)
bestimmen, worin in unserem Falle Q der Querschnitt der Röhre
,
.
Daraus folgt:
(22b.) .
Wenn R und R1 gegeben sind, giebt diese Gleichung eine Bedingung, welche
durch die Coefficienten des Ausdrucks für Φ in (22.) erfüllt werden muſs,
so daſs einer von ihnen durch die anderen bestimmt werden kann.

§. 9.

Wir wollen endlich noch die Röhrenformen berechnen, welche den
einfachsten Annahmen über die Function Φ entsprechen. Setzen wir
(23.) ,

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[56/0066] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. In der That sind dann auch alle diese Functionen von einer solchen Form, daſs sich ihr Werth in der Nähe der Mündung nicht ändert dadurch, daſs man k = 0 setzt. Die Bedingung (18d.) ergiebt, daſs die Röhrenwand eine zu allen Flächen, deren Gleichung Ψi = Const. ist, orthogonale Rotationsfläche sein muſs, oder wenn wir die Gleichung der Röhrenwand (und überhaupt der Strömungs- curven) ausdrücken durch [FORMEL], so muſs sein: (22a.) [FORMEL]. Zu bemerken ist noch, daſs man, um die Form der Function Φ festzustellen, die Gröſse des Radius des cylindrischen Theiles der Röhre R1 bestimmen muſs, weil von dessen Gröſse die in der Summe vorkommenden Werthe von m abhängen. Um Pi und Pl zu finden, muſs wiederum die Gröſse des Radius der Oeffnung R festgestellt sein, und schlieſslich, wenn man die Röhrenform aus der Gleichung [FORMEL] bestimmt, wird die Stromes- curve, welche von dem Rande der Oeffnung ausgeht, nicht nothwendig in einen Cylinder vom Radius R1 übergehen. Um dies nun zu bewirken, muſs man eine der Constanten von Φ durch die oben gefundene Gleichung (12b.) [FORMEL] bestimmen, worin in unserem Falle Q der Querschnitt der Röhre [FORMEL], [FORMEL]. Daraus folgt: (22b.) [FORMEL]. Wenn R und R1 gegeben sind, giebt diese Gleichung eine Bedingung, welche durch die Coefficienten des Ausdrucks für Φ in (22.) erfüllt werden muſs, so daſs einer von ihnen durch die anderen bestimmt werden kann. §. 9. Wir wollen endlich noch die Röhrenformen berechnen, welche den einfachsten Annahmen über die Function Φ entsprechen. Setzen wir (23.) [FORMEL],

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 56. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/66>, abgerufen am 22.12.2024.