Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Dies in die obige Gleichung eingeführt giebt:(28.) Nehmen wir jetzt an der Raum S sei von einer festen Wand umgeben, in der nur eine oder einige Oeffnungen seien, an der festen Begrenzung sei überall tive Werthe. Das Verhältniss der Fläche sämmtlicher Oeffnungen zur ganzen Oberfläche des Raumes S sei e2:1, und e eine verschwindend kleine Grösse, so ist das Integral das erste Integral rechts zu vernachlässigen. Lassen wir nun k immer mehr sich der Null nähern, so muss dabei offenbar das Integral selbst immer grösser und grösser werden. Bezeichnen wir k2Ps mit kh, so würde kh eine Function sein, die bei abnehmendem k von constanter Grössen- ordnung bleibt, und in eine Function übergeht, welche der Differentialgleichung kh = 0 in ganzer Ausdehnung des Raumes S genügt, und für welche an der ganzen Oberfläche des Raumes S Sätzen über electrische Potentialfunctionen, dass kh im ganzen Raume S con- stant sein müsse. Dem entsprechend wollen wir nun zeigen, dass, wenn die Dimensionen Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Dies in die obige Gleichung eingeführt giebt:(28.) Nehmen wir jetzt an der Raum S sei von einer festen Wand umgeben, in der nur eine oder einige Oeffnungen seien, an der festen Begrenzung sei überall tive Werthe. Das Verhältniſs der Fläche sämmtlicher Oeffnungen zur ganzen Oberfläche des Raumes S sei η2:1, und η eine verschwindend kleine Gröſse, so ist das Integral das erste Integral rechts zu vernachlässigen. Lassen wir nun k immer mehr sich der Null nähern, so muſs dabei offenbar das Integral selbst immer gröſser und gröſser werden. Bezeichnen wir k2Ψ mit χ, so würde χ eine Function sein, die bei abnehmendem k von constanter Gröſsen- ordnung bleibt, und in eine Function übergeht, welche der Differentialgleichung ∇χ = 0 in ganzer Ausdehnung des Raumes S genügt, und für welche an der ganzen Oberfläche des Raumes S Sätzen über electrische Potentialfunctionen, daſs χ im ganzen Raume S con- stant sein müsse. 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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Dies in die obige Gleichung eingeführt giebt:
(28.) [FORMEL].
Nehmen wir jetzt an der Raum S sei von einer festen Wand umgeben, in
der nur eine oder einige Oeffnungen seien, an der festen Begrenzung sei
überall [FORMEL], in den sämmtlichen Oeffnungen aber habe [FORMEL] endliche posi-
tive Werthe. Das Verhältniſs der Fläche sämmtlicher Oeffnungen zur ganzen
Oberfläche des Raumes S sei η2:1, und η eine verschwindend kleine Gröſse,
so ist das Integral [FORMEL] von derselben Ordnung kleiner Gröſsen wie η2,
das erste Integral rechts [FORMEL] aber von der Ordnung k2r2η2, also
zu vernachlässigen. Lassen wir nun k immer mehr sich der Null nähern, so
muſs dabei offenbar das Integral [FORMEL] und also auch die Function Ψ
selbst immer gröſser und gröſser werden. Bezeichnen wir k2Ψ mit χ, so
würde χ eine Function sein, die bei abnehmendem k von constanter Gröſsen-
ordnung bleibt, und in eine Function übergeht, welche der Differentialgleichung
∇χ = 0 in ganzer Ausdehnung des Raumes S genügt, und für welche an der
ganzen Oberfläche des Raumes S [FORMEL]. Daraus folgt nach den bekannten
Sätzen über electrische Potentialfunctionen, daſs χ im ganzen Raume S con-
stant sein müsse.
Dem entsprechend wollen wir nun zeigen, daſs, wenn die Dimensionen
des Raumes S überall endlich sind, d. h. wenn man den Raum S nicht durch
eine unendlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlicher Gröſse zer-
legen kann, daſs dann Ψ höchstens in unendlich kleinen Theilen des Raumes S
von der Ordnung η2 sich um endliche Theile seiner Gröſse von einer Con-
stanten C unterscheiden könne. Wenn Ψ und seine ersten Differentialquo-
tienten nämlich, wie es hier sein soll, innerhalb S überall continuirlich und
eindeutig sind, so ist, wie bekannt:
[FORMEL],
wo die dreifachen Integrale über den ganzen Raum S auszudehnen sind.
Berücksichtigt man, daſs k2Ψ + ∇Ψ = 0, und denkt man sich weiter beide
Seiten der Gleichung mit einer constanten Gröſse ε2 multiplicirt, die so ge-
wählt sein soll, daſs ε2 Ψ eine endliche Gröſse ist, wozu nach Gleichung (28.)
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